8 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 821: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 820 822 →

Условие

Мотоциклист проехал расстояние от пункта M до пункта N за 5 ч. На обратном пути первые 36 км он ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта M в пункт N?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим первоначальную скорость мотоциклиста через x км/ч.
Выразим расстояние между пунктами M и N через время и скорость на пути туда.
Составим уравнение для времени обратного пути, учитывая изменение скорости на второй части маршрута.
Решим полученное квадратное уравнение и отберем корень, имеющий физический смысл.

Вычисление:

Пусть x км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда расстояние от M до N равно произведению скорости на время: S=5x(км).

На обратном пути первые 36 км мотоциклист ехал со скоростью x км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно 36/x ч.

Оставшаяся часть пути составляет (5x-36) км. Скорость на этом участке была на 3 км/ч больше, то есть (x+3) км/ч. Время движения на втором участке равно 5x-36/x+3 ч.

По условию задачи общий путь обратно занял на 15 мин меньше, чем путь туда. Переведем минуты в часы: 15 мин =15/60 ч =1/4 ч. Значит, время обратного пути равно 5-1/4=43/4=19/4 ч.

Составим уравнение:

36/x+5x-36/x+3=19/4

Приведем левую часть к общему знаменателю x(x+3):

36(x+3)+x(5x-36)/x(x+3)=19/4

36x+108+5x²-36x/x²+3x=19/4

5x²+108/x²+3x=19/4

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

4(5x²+108)=19(x²+3x)

20x²+432=19x²+57x

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

20x²-19x²-57x+432=0

x²-57x+432=0

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D=(-57)²-4·1·432=3249-1728=1521

D=1521=39

Корни уравнения:

x₁=57+39/2=96/2=48

x₂=57-39/2=18/2=9

Проверка:

Рассмотрим оба полученных значения скорости.

1) Если x=48 км/ч, то расстояние S=5·48=240 км. Время на первых 36 км: 36/48=0,75 ч. Остаток пути: 240-36=204 км. Скорость на остатке: 48+3=51 км/ч. Время на остатке: 204/51=4 ч. Общее время обратно: 0,75+4=4,75 ч. Разница во времени: 5-4,75=0,25 ч (15 мин). Условие выполнено.

2) Если x=9 км/ч, то расстояние S=5·9=45 км. Время на первых 36 км: 36/9=4 ч. Остаток пути: 45-36=9 км. Скорость на остатке: 9+3=12 км/ч. Время на остатке: 9/12=0,75 ч. Общее время обратно: 4+0,75=4,75 ч. Разница во времени: 5-4,75=0,25 ч (15 мин). Условие также выполнено.

Оба ответа математически верны. В контексте школьных задач часто подразумевается более реалистичная скорость для мотоцикла, но формально подходят оба варианта.

Ответ

48 км/ч или 9 км/ч

Задача сводится к составлению рационального уравнения. Важно правильно перевести единицы измерения времени (минуты в часы). Квадратное уравнение имеет два положительных корня, оба из которых удовлетворяют условию задачи (расстояние положительно, время положительно). Ключ подтверждает наличие двух ответов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 821 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 821?

Краткий ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.