ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 854: Свойства числовых неравенств
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сравните значения выражений a3+b3 и ab(a + b), если известно, что a и b — различные положительные числа.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы сравнить два выражения, удобно рассмотреть их разность. Если разность положительна, то первое выражение больше второго; если отрицательна — меньше; если равна нулю — они равны. Нам нужно вычислить A-B, где A=a3+b3 и B=ab(a+b).
Вычисление:
Запишем разность данных выражений:
(a3+b3)-ab(a+b)Раскроем скобки во втором слагаемом:
a3+b3-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2Сгруппируем члены так, чтобы можно было вынести общий множитель за скобки. Сгруппируем a3 с -a2b и b3 с -ab2:
(a3-a2b)+(b3-ab2)Вынесем общие множители из каждой группы:
a2(a-b)+b2(b-a)Заметим, что (b-a)=-(a-b). Преобразуем второе слагаемое:
a2(a-b)-b2(a-b)Теперь вынесем общий множитель (a-b) за скобки:
(a-b)(a2-b2)Применим формулу разности квадратов для второго множителя (a2-b2=(a-b)(a+b)):
(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)Проверка и вывод:
Оценим знак полученного выражения (a-b)2(a+b), используя условия задачи:
- Так как a и b — различные числа, то a≠b, следовательно, a-b≠0. Квадрат любого ненулевого действительного числа строго положителен: (a-b)2>0.
- Так как a и b — положительные числа (a>0,b>0), то их сумма также положительна: a+b>0.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом:
(a-b)2(a+b)>0Это означает, что разность первого выражения и второго положительна:
(a3+b3)-ab(a+b)>0⇒a3+b3>ab(a+b)a3+b3>ab(a + b)
Метод сравнения через разность. Ключевой момент — группировка и использование формулы разности квадратов. Важно подчеркнуть, что условие 'различные' гарантирует строгую неравенство (квадрат не равен нулю).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 854 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 854?
Краткий ответ: a^3 + b^3 > ab(a + b).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Свойства числовых неравенств.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.