ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 853: Числовые неравенства и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что при a≥0 и b≥0 верно неравенство (a+b)/2 ≤ \sqrt{(a^2+b^2}/2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Нам нужно доказать неравенство a+b/2≤a2+b2/2 при условии, что a≥0 и b≥0. Поскольку обе части неравенства неотрицательны (левая часть — сумма неотрицательных чисел, деленная на 2; правая часть — арифметический квадратный корень), мы можем возвести обе части в квадрат. Это равносильное преобразование, которое не изменит знак неравенства. После возведения в квадрат упростим полученное выражение и покажем, что оно всегда верно.
Вычисление.
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат:
(a+b/2)2≤(a2+b2/2)2Раскроем скобки в левой части и уберем корень в правой:
(a+b)2/4≤a2+b2/2Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
(a+b)2≤2(a2+b2)Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы (a+b)2=a2+2ab+b2 и распределительный закон справа:
a2+2ab+b2≤2a2+2b2Перенесем все слагаемые из левой части в правую, вычитая a2, 2ab и b2 из обеих частей:
0≤2a2-a2+2b2-b2-2ab 0≤a2-2ab+b2Заметим, что правая часть представляет собой полный квадрат разности:
0≤(a-b)2Это утверждение верно для любых действительных чисел a и b, так как квадрат любого числа неотрицателен.
Проверка и вывод.
Мы показали, что исходное неравенство равносильно верному утверждению (a-b)2≥0. Следовательно, исходное неравенство a+b/2≤a2+b2/2 доказано. Равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b.
Доказано: неравенство равносильно (a-b)2≥0, что верно.
Использовано свойство монотонности функции y=x^2 на промежутке [0; +inf). Ключевым шагом является сведение к полному квадрату.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 853 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 853?
Краткий ответ: Доказано: неравенство равносильно (a-b)^2 0, что верно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.