ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 852: Числовые неравенства и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах.) Докажите, что если a и b — положительные числа и a2>b2, то a>b. Пользуясь этим свойством, сравните числа
а) 6+3 и 7+2
б) 3+2 и 6+1
в) 5-2 и 6-3
г) 10-7 и 11-6.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Сначала докажем вспомогательное утверждение: для положительных чисел a и b из неравенства a2>b2 следует a>b. Затем применим это свойство к каждому пункту. Для сравнения двух выражений возведём их в квадрат (так как все сравниваемые числа положительны) и проведём алгебраические преобразования, чтобы определить знак разности квадратов.
Доказательство свойства:
Пусть a>0, b>0 и a2>b2. Перенесём всё в одну сторону: a2-b2>0. Разложим на множители по формуле разности квадратов: (a-b)(a+b)>0. Так как a и b положительны, то их сумма a+b строго больше нуля. Чтобы произведение было положительным при положительном втором множителе, первый множитель также должен быть положительным: a-b>0, откуда a>b. Свойство доказано.
Решение пункта а):
Сравним 6+3 и 7+2. Оба числа положительны. Возведём в квадрат: (6+3)2=6+66+9=15+66 (7+2)2=7+47+4=11+47 Найдём разность квадратов: (15+66)-(11+47)=4+66-47. Оценим слагаемые: 6≈2.45, 7≈2.65. Тогда 66≈14.7, 47≈10.6. Разность 4+14.7-10.6>0. Более строго: 66=216, 47=112. Очевидно, что 216>112, значит 66>47. Следовательно, вся разность положительна. Значит, квадрат первого числа больше квадрата второго, поэтому 6+3>7+2.
Решение пункта б):
Сравним 3+2 и 6+1. Оба числа положительны. Возведём в квадрат: (3+2)2=3+43+4=7+43 (6+1)2=6+26+1=7+26 Сравниваем 7+43 и 7+26. Вычтем 7 из обеих частей, остаётся сравнить 43 и 26. Возведём эти слагаемые в квадрат: (43)2=16·3=48, (26)2=4·6=24. Так как 48>24, то 43>26. Следовательно, (3+2)2>(6+1)2, значит 3+2>6+1.
Решение пункта в):
Сравним 5-2 и 6-3. Сначала проверим знаки. 5≈2.23>2, значит первое число положительно. 6≈2.45, 3≈1.73, значит второе число тоже положительно. Возведём в квадрат: (5-2)2=5-45+4=9-45 (6-3)2=6-218+3=9-218=9-62 Сравниваем 9-45 и 9-62. Вычтем 9, остаётся сравнить -45 и -62. Это эквивалентно сравнению 45 и 62 с обратным знаком. Возведём модули в квадрат: (45)2=16·5=80, (62)2=36·2=72. Так как 80>72, то 45>62. При вычитании большего числа из 9 результат будет меньше. То есть 9-45<9-62. Следовательно, (5-2)2<(6-3)2, значит 5-2<6-3.
Решение пункта г):
Сравним 10-7 и 11-6. Первое число положительно (10>7). Второе число очевидно положительно (11>6). Однако здесь проще оценить порядок величин. 10-7 — это разность близких корней, она мала (примерно 3.16-2.65=0.51). Число 11-6 примерно равно 11-2.45=8.55. Очевидно, что 0.51<8.55. Строго: так как 10<4 и 7>2, то 10-7<2. А 11-6>11-3=8. Поскольку 2<8, то 10-7<11-6.
а) 6+3>7+2
б) 3+2>6+1
в) 5-2<6-3
г) 10-7<11-6
В пункте г) возведение в квадрат технически возможно, но приводит к громоздким выражениям. Проще использовать грубые оценки целых частей или сравнение через промежуточное значение, так как разница между числами огромна.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 852 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 852?
Краткий ответ: а) √6 + 3 > √7 + 2; б) √3 + 2 > √6 + 1; в) √5 - 2 < √6 - √3; г) √10 - √7 < 11 - √6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.