ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 849: Числовые неравенства и их свойства

План решения:

• Для пункта а) перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём выражение к полному квадрату.
• Для пункта б) воспользуемся результатом из пункта а), так как знаменатель c²+1 всегда положителен, что позволяет умножить неравенство на него без изменения знака.

Вычисление:

1. а) Докажем неравенство c²+1/2≥c.
   Умножим обе части на 2 (так как 2>0, знак сохраняется): c²+1≥2c Перенесём 2c в левую часть: c²-2c+1≥0 Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: (c-1)²≥0 Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого c. Следовательно, исходное неравенство доказано.
2. б) Докажем неравенство c/c²+1≤1/2.
   Так как c²≥0, то c²+1≥1>0. Знаменатель положителен при любом c, поэтому можем умножить обе части неравенства на 2(c²+1), не меняя знака неравенства: 2c≤c²+1 Перенесём всё в правую часть: 0≤c²-2c+1 Или: c²-2c+1≥0 Как мы уже показали в пункте а), это равносильно (c-1)²≥0, что истинно для всех действительных c. Значит, исходное неравенство также верно.

Проверка:

Подставим конкретные значения. Пусть c=1. Тогда в а): 1²+1/2=1, и 1≥1 — верно. В б): 1/1²+1=1/2, и 1/2≤1/2 — верно. Пусть c=3. В а): 9+1/2=5, 5≥3 — верно. В б): 3/10=0.3, 0.3≤0.5 — верно. Логика доказательства через полный квадрат надежна.