ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 845: Числовые неравенства и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите неравенство: а) a(a + b) ≥ ab; б) m2-mn+n2≥mn; в) 10a2-5a+1≥a2+a; г) 2bc≤b2+c2; д) a(a - b) ≥ b(a - b); е) a2-a≤50a2-15a+1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства числовых неравенств с переменными обычно используют метод разности: если A-B≥0, то верно, что A≥B. В каждом пункте мы перенесём все члены в одну сторону, упростим выражение и постараемся представить его в виде полного квадрата или суммы неотрицательных величин.
а) Докажем, что a(a+b)≥ab.
- Рассмотрим разность левой и правой частей: a(a+b)-ab.
- Раскроем скобки: a2+ab-ab=a2.
- Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (a2≥0), то исходное неравенство верно.
б) Докажем, что m2-mn+n2≥mn.
- Перенесём mn в левую часть: m2-mn+n2-mn≥0.
- Упростим выражение: m2-2mn+n2≥0.
- Заметим, что это формула квадрата разности: (m-n)2≥0.
- Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.
в) Докажем, что 10a2-5a+1≥a2+a.
- Вычтем правую часть из левой: (10a2-5a+1)-(a2+a)≥0.
- Приведём подобные слагаемые: 9a2-6a+1≥0.
- Разложим на множители, используя формулу квадрата разности: (3a-1)2≥0.
- Неравенство верно для любых значений a.
г) Докажем, что 2bc≤b2+c2.
- Перенесём всё в правую часть: b2+c2-2bc≥0.
- Свернём выражение по формуле сокращённого умножения: (b-c)2≥0.
- Квадрат разности всегда неотрицателен, следовательно, исходное неравенство справедливо.
д) Докажем, что a(a-b)≥b(a-b).
- Рассмотрим разность: a(a-b)-b(a-b)≥0.
- Вынесем общий множитель (a-b) за скобки: (a-b)(a-b)≥0.
- Получаем: (a-b)2≥0.
- Это утверждение истинно для любых действительных чисел a и b.
е) Докажем, что a2-a≤50a2-15a+1.
- Перенесём все слагаемые в правую часть: 50a2-15a+1-(a2-a)≥0.
- Упростим выражение: 49a2-14a+1≥0.
- Заметим, что это полный квадрат: (7a-1)2≥0.
- Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.
Все неравенства доказаны методом разности, сводящимся к квадрату двучлена.
В решении использован стандартный алгебраический приём: перенос всех членов в одну сторону и выделение полного квадрата. Это базовый навык для темы 'Числовые неравенства' в 8 классе.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 845 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 845?
Краткий ответ: Все неравенства доказаны методом разности, сводящимся к квадрату двучлена.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.