ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 843: Числовые неравенства и их свойства

План решения:

Для доказательства числовых неравенств с переменными мы будем использовать метод разности. Если разность левой части и правой части положительна (A-B>0), то верно неравенство A>B. Если разность отрицательна (A-B<0), то верно неравенство A<B. В каждом пункте раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и проанализируем знак полученного выражения.

Вычисление:

а) Докажем, что 2b²-6b+1>2b(b-3).

Найдем разность левой и правой частей:

Раскроем скобки во втором слагаемом:

Приведем подобные слагаемые:

Так как 1>0, то исходное неравенство верно для любого значения b.

б) Докажем, что (c+2)(c+6)<(c+3)(c+5).

Найдем разность левой и правой частей:

Раскроем скобки в обоих произведениях:

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

Так как -3<0, то левая часть меньше правой, и неравенство верно для любого значения c.

в) Докажем, что p(p+7)>7p-1.

Найдем разность левой и правой частей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (p²≥0), то сумма p²+1 всегда строго больше нуля (p²+1≥1>0). Следовательно, неравенство верно для любого значения p.

г) Докажем, что 8y(3y-10)<(5y-8)².

Найдем разность левой и правой частей:

Раскроем скобки слева и применим формулу квадрата разности справа:

Уберем скобки, меняя знаки второго слагаемого на противоположные:

Приведем подобные слагаемые:

Так как y²≥0, то -y²≤0. Вычитая из этого числа 64, получаем значение, которое всегда меньше нуля: -y²-64≤-64<0. Разность отрицательна, значит, левая часть меньше правой. Неравенство верно для любого значения y.

Проверка:

Во всех пунктах после алгебраических преобразований мы получили константы или выражения, знак которых не зависит от переменной (или зависит только от свойств квадрата). Знаки полученных разностей соответствуют требуемым знакам неравенств (> или <). Таким образом, все четыре неравенства доказаны.