ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 842: Числовые неравенства и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство
а) 3(a+1)+a<4(2+a)
б) (7p - 1)(7p+1)<49p2
в) (a-2)2>a(a - 4)
г) (2a + 3)(2a+1)>4a(a + 2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства неравенств при любом значении переменной необходимо упростить обе части выражения и сравнить полученные результаты. Мы будем раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и анализировать итоговое утверждение.
- Пункт а) 3(a+1)+a<4(2+a)
Раскроем скобки в левой части: 3a+3+a=4a+3.
Раскроем скобки в правой части: 8+4a.
Неравенство принимает вид: 4a+3<4a+8.
Вычтем 4a из обеих частей: 3<8.
Так как 3 действительно меньше 8, исходное неравенство верно при любом a. - Пункт б) (7p-1)(7p+1)<49p2
В левой части применим формулу разности квадратов: (7p)2-12=49p2-1.
Неравенство принимает вид: 49p2-1<49p2.
Вычтем 49p2 из обеих частей: -1<0.
Так как -1 меньше нуля, неравенство верно при любом p. - Пункт в) (a-2)2>a(a-4)
Раскроем квадрат суммы (разности) в левой части: a2-4a+4.
Раскроем скобки в правой части: a2-4a.
Неравенство принимает вид: a2-4a+4>a2-4a.
Вычтем a2-4a из обеих частей: 4>0.
Так как 4 больше нуля, неравенство верно при любом a. - Пункт г) (2a+3)(2a+1)>4a(a+2)
Перемножим скобки в левой части: 4a2+2a+6a+3=4a2+8a+3.
Раскроем скобки в правой части: 4a2+8a.
Неравенство принимает вид: 4a2+8a+3>4a2+8a.
Вычтем 4a2+8a из обеих частей: 3>0.
Так как 3 больше нуля, неравенство верно при любом a.
Во всех четырех случаях после алгебраических преобразований мы получили верные числовые неравенства (3<8, -1<0, 4>0, 3>0), которые не зависят от значения переменной. Следовательно, исходные утверждения доказаны для любых допустимых значений переменных.
а) 30; г) 3>0. Все неравенства верны.
Задача на применение свойств числовых неравенств и формул сокращенного умножения. Ключевой момент — приведение подобных слагаемых и исключение переменной из сравнения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 842 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 842?
Краткий ответ: а) 3 0; г) 3 > 0. Все неравенства верны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.