8 класс Числовые неравенства и их свойства § 11. Числовые неравенства и их свойства

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 841: Числовые неравенства и их свойства

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 840 842 →

Условие

Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b - 8). Сравните их значения при b=-3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для сравнения значений двух выражений при конкретных значениях переменной b необходимо подставить каждое значение в оба выражения, вычислить их числовые значения и сравнить результаты. Затем, чтобы ответить на вопрос о справедливости неравенства для любого b, нужно проанализировать разность этих выражений или проверить контрпример.

Вычисления:

Обозначим первое выражение как A=4b(b+1), а второе как B=(2b+7)(2b-8).

При b=-3:
- A=4·(-3)·(-3+1)=-12·(-2)=24;
- B=(2·(-3)+7)(2·(-3)-8)=(-6+7)(-6-8)=1·(-14)=-14;
- Сравнение: 24>-14, значит A>B.
При b=-2:
- A=4·(-2)·(-2+1)=-8·(-1)=8;
- B=(2·(-2)+7)(2·(-2)-8)=(-4+7)(-4-8)=3·(-12)=-36;
- Сравнение: 8>-36, значит A>B.
При b=10:
- A=4·10·(10+1)=40·11=440;
- B=(2·10+7)(2·10-8)=(20+7)(20-8)=27·12=324;
- Сравнение: 440>324, значит A>B.

Теперь проверим утверждение «при любом значении b значение первого выражения больше». Для этого найдем разность A-B:

A-B=4b(b+1)-(2b+7)(2b-8) Раскроем скобки: 4b²+4b-(4b²-16b+14b-56)=4b²+4b-(4b²-2b-56) =4b²+4b-4b²+2b+56=6b+56 Чтобы A>B, должно выполняться неравенство 6b+56>0, то есть 6b>-56, откуда b>-56/6=-91/3. Если взять b=-10, то 6(-10)+56=-60+56=-4<0, следовательно, A<B. Значит, утверждение неверно для всех b.

Проверка:

Подставим b=-10 в исходные выражения для проверки вывода: A=4(-10)(-9)=360; B=(-20+7)(-20-8)=(-13)(-28)=364. Действительно, 360<364, поэтому первое выражение не всегда больше второго.

Ответ

При b=-3:24>-14; при b=-2:8>-36; при b=10:440>324. Нет, нельзя утверждать.

В решении последовательно выполнены вычисления для трех заданных точек. Для ответа на второй вопрос использован метод разности выражений, что позволило найти область значений b, где первое выражение больше второго, и привести контрпример.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 841 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 841?

Краткий ответ: При b=-3: 24 > -14; при b=-2: 8 > -36; при b=10: 440 > 324. Нет, нельзя утверждать.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.