ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 850: Числовые неравенства и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство
а) a2-6a+14>0
б) b2+70>16b.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства этих неравенств воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена. Суть метода заключается в том, чтобы преобразовать левую часть неравенства (или обе части) так, чтобы получить сумму квадрата выражения и положительного числа. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен (x2≥0), а добавление положительного константы делает результат строго положительным, мы сможем доказать строгое неравенство.
а) Докажем неравенство a2-6a+14>0
- Рассмотрим выражение a2-6a. Чтобы выделить полный квадрат, вспомним формулу (a-b)2=a2-2ab+b2. Здесь 2ab=6a, значит b=3. Нам нужно добавить и вычесть 32=9.
- Преобразуем исходное выражение:
a2-6a+14=a2-6a+9-9+14 - Группируем первые три слагаемых как квадрат двучлена и упрощаем оставшиеся числа:
(a2-6a+9)+(14-9)=(a-3)2+5 - Анализ полученного результата: для любого действительного числа a выполняется условие (a-3)2≥0. Следовательно, сумма (a-3)2+5 всегда не меньше 5.
Так как 5>0, то и всё выражение строго больше нуля.
Вывод: a2-6a+14>0 доказано.
б) Докажем неравенство b2+70>16b
- Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы сравнить разность с нулём:
b2-16b+70>0 - Выделим полный квадрат из выражения b2-16b. Коэффициент при линейном члене равен -16, половина его равна -8, квадрат этой половины равен 64. Добавим и вычтем 64:
b2-16b+64-64+70 - Сгруппируем слагаемые:
(b2-16b+64)+(70-64)=(b-8)2+6 - Анализ результата: квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (b-8)2≥0. Прибавляя к нему положительное число 6, получаем значение, которое всегда не меньше 6.
Поскольку 6>0, то (b-8)2+6>0 верно для любых b.
Вывод: Исходное неравенство b2+70>16b доказано.
а) (a-3)2+5>0
б) (b-8)2+6>0
Использован стандартный алгоритм выделения полного квадрата. В пункте а) свободный член 14 разбит на 9 и 5. В пункте б) сначала перенесены члены в одну сторону, затем свободный член 70 разбит на 64 и 6. Проверка корректности: минимальные значения функций равны 5 и 6 соответственно, что подтверждает строгую положительность.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 850 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 850?
Краткий ответ: а) (a-3)^2+5>0; б) (b-8)^2+6>0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Числовые неравенства и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.