ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 862: Свойства числовых неравенств

План решения:

Нам дано неравенство a<b. Нужно сравнить две величины в каждом пункте. Для этого будем использовать свойства числовых неравенств: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства сохранится; если умножить или разделить на положительное число — тоже. Также важно помнить, что мы не можем точно определить разницу между a и b, поэтому некоторые сравнения могут быть невозможны.

Вычисление по пунктам:

• а) Сравним a и b+1.
  Из условия известно, что a<b. Так как b<b+1 (так как 1>0), то по транзитивности неравенств получаем цепочку: a<b<b+1. Следовательно, a<b+1.
• б) Сравним a-3 и b.
  Исходное неравенство: a<b. Вычтем из обеих частей 3: a-3<b-3. Теперь сравним b-3 и b. Очевидно, что b-3<b. Таким образом, у нас есть a-3<b-3 и b-3<b, значит, a-3<b.
• в) Сравним a-5 и b+2.
  Исходное неравенство: a<b. Вычтем 5: a-5<b-5. Прибавим 2 к правой части исходного неравенства: b<b+2. Объединяя эти факты, видим, что левая часть (a-5) меньше числа b-5, а правая часть (b+2) больше числа b. Поскольку b-5<b<b+2, то тем более a-5<b+2. Сравнение возможно, ответ: a-5<b+2.
• г) Сравним a+4 и b-1.
  Здесь ситуация сложнее. Мы знаем только, что a<b. Разница между a и b может быть любой.
  Пример 1: Пусть a=1,b=10. Тогда a+4=5, b-1=9. Получаем 5<9, то есть a+4<b-1.
  Пример 2: Пусть a=8,b=10. Тогда a+4=12, b-1=9. Получаем 12>9, то есть a+4>b-1.
  Так как результат зависит от конкретных значений a и b, однозначно сравнить эти выражения невозможно.

Проверка:

В пунктах а), б) и в) мы использовали строгие следствия свойств неравенств и транзитивность, которые гарантируют однозначный ответ при условии a<b. В пункте г) контрпримеры показали, что без дополнительных данных о величине разности b-a вывод сделать нельзя. Это соответствует стандартной практике задач такого типа.