8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 90: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 89 91 →

Условие

Выполните действие

а) a^2/(ax-x²) + x/(x-a)

б) (b²-4by)/(2y²-by) - 4y/(b-2y).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим решение каждого пункта по отдельности. Наша цель — привести алгебраические дроби к общему знаменателю, выполнить сложение или вычитание и упростить результат.

а) Выполним действие: a²/ax-x²+x/x-a

Разложим знаменатель первой дроби на множители: ax-x²=x(a-x).
Заметим, что знаменатель второй дроби x-a является противоположным к a-x. Чтобы получить общий знаменатель, умножим числитель и знаменатель второй дроби на -1: x/x-a=x·(-1)/(x-a)·(-1)=-x/a-x
Теперь обе дроби имеют знаменатели, содержащие множитель (a-x). Общий знаменатель будет равен x(a-x).
Приведём первую дробь к общему знаменателю (она уже имеет его): a²/x(a-x).
Приведём вторую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на x: -x/a-x=-x·x/(a-x)·x=-x²/x(a-x)
Сложим дроби: a²/x(a-x)+-x²/x(a-x)=a²-x²/x(a-x)
В числителе применим формулу разности квадратов: a²-x²=(a-x)(a+x).
Сократим полученную дробь на общий множитель (a-x): (a-x)(a+x)/x(a-x)=a+x/x

б) Выполним действие: b²-4by/2y²-by-4y/b-2y

Разложим знаменатель первой дроби на множители: 2y²-by=y(2y-b).
Знаменатель второй дроби b-2y является противоположным к 2y-b. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на -1, чтобы изменить знак в знаменателе: 4y/b-2y=4y·(-1)/(b-2y)·(-1)=-4y/2y-b
Так как перед второй дробью стоит знак минус, то вычитание отрицательной дроби превращается в сложение положительной: -(-4y/2y-b)=+4y/2y-b
Теперь выражение выглядит так: b²-4by/y(2y-b)+4y/2y-b
Общий знаменатель равен y(2y-b). Приведём вторую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на y: 4y/2y-b=4y·y/(2y-b)·y=4y²/y(2y-b)
Сложим дроби: b²-4by+4y²/y(2y-b)
В числителе выделим полный квадрат: b²-4by+4y²=b²-2·b·2y+(2y)²=(b-2y)².
Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: (b-2y)²/y(2y-b)
Заметим, что (b-2y)²=(-(2y-b))²=(2y-b)². Тогда: (2y-b)²/y(2y-b)
Сократим на общий множитель (2y-b): 2y-b/y

Ответ

а) a+x/x

б) 2y-b/y

В обоих пунктах ключевым шагом является приведение знаменателей к одинаковому виду с помощью изменения знака (умножения на -1). В пункте а) используется формула разности квадратов для сокращения. В пункте б) используется формула полного квадрата и свойство четности степени при изменении знака основания.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 90 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 90?

Краткий ответ: а) a+xx; б) 2y-by.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.