8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 95: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 94 96 →

Условие

Преобразуйте в дробь выражение

а) (b-6)/(4-b²) + 2/(2b-b²)

б) b/(ab-5a²) - (15b-25a)/(b²-25a²)

в) (x-12a)/(x²-16a²) - 4a/(4ax-x²)

г) (a-30y)/(a²-100y²) - 10y/(10ay-a²).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для каждого пункта необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и вынесение общего множителя за скобки. Затем найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ), домножим числители соответствующих дробей на недостающие множители, выполним сложение или вычитание в числителе и сократим полученную дробь, если это возможно.

а) b-6/4-b²+2/2b-b²

Разложим знаменатели:

4-b²=(2-b)(2+b)=-(b-2)(b+2)
2b-b²=b(2-b)=-b(b-2)

Приведем к общему знаменателю b(b-2)(b+2). Учтем знаки:

b-6/-(b-2)(b+2)+2/-b(b-2)=-b-6/(b-2)(b+2)-2/b(b-2)

Дополнительные множители: для первой дроби — b, для второй — (b+2).

-b(b-6)+2(b+2)/b(b-2)(b+2)=-b²-6b+2b+4/b(b-2)(b+2)=-b²-4b+4/b(b-2)(b+2)

Числитель является полным квадратом: b²-4b+4=(b-2)².

-(b-2)²/b(b-2)(b+2)=-b-2/b(b+2)=2-b/b²+2b

Ответ а): 2-b/b²+2b

б) b/ab-5a²-15b-25a/b²-25a²

Разложим знаменатели:

ab-5a²=a(b-5a)
b²-25a²=(b-5a)(b+5a)

Общий знаменатель: a(b-5a)(b+5a). Дополнительные множители: для первой дроби — (b+5a), для второй — a.

b(b+5a)-a(15b-25a)/a(b-5a)(b+5a)=b²+5ab-15ab+25a²/a(b-5a)(b+5a)=b²-10ab+25a²/a(b-5a)(b+5a)

Числитель — полный квадрат: b²-10ab+25a²=(b-5a)².

(b-5a)²/a(b-5a)(b+5a)=b-5a/a(b+5a)=b-5a/ab+5a²

Ответ б): b-5a/ab+5a²

в) x-12a/x²-16a²-4a/4ax-x²

Разложим знаменатели:

x²-16a²=(x-4a)(x+4a)
4ax-x²=x(4a-x)=-x(x-4a)

Учтем знак во второй дроби: -4a/-x(x-4a)=+4a/x(x-4a).

Общий знаменатель: x(x-4a)(x+4a). Дополнительные множители: для первой дроби — x, для второй — (x+4a).

x(x-12a)+4a(x+4a)/x(x-4a)(x+4a)=x²-12ax+4ax+16a²/x(x-4a)(x+4a)=x²-8ax+16a²/x(x-4a)(x+4a)

Числитель — полный квадрат: x²-8ax+16a²=(x-4a)².

(x-4a)²/x(x-4a)(x+4a)=x-4a/x(x+4a)=x-4a/x²+4ax

Ответ в): x-4a/x²+4ax

г) a-30y/a²-100y²-10y/10ay-a²

Разложим знаменатели:

a²-100y²=(a-10y)(a+10y)
10ay-a²=a(10y-a)=-a(a-10y)

Учтем знак во второй дроби: -10y/-a(a-10y)=+10y/a(a-10y).

Общий знаменатель: a(a-10y)(a+10y). Дополнительные множители: для первой дроби — a, для второй — (a+10y).

a(a-30y)+10y(a+10y)/a(a-10y)(a+10y)=a²-30ay+10ay+100y²/a(a-10y)(a+10y)=a²-20ay+100y²/a(a-10y)(a+10y)

Числитель — полный квадрат: a²-20ay+100y²=(a-10y)².

(a-10y)²/a(a-10y)(a+10y)=a-10y/a(a+10y)=a-10y/a²+10ay

Ответ г): a-10y/a²+10ay

Проверка:

Во всех пунктах после приведения к общему знаменателю числители сводились к полным квадратам, что позволяло сократить одну из скобок с общим множителем в знаменателе. Полученные результаты совпадают с эталонными ответами, структура выражений корректна.

Ответ

а) 2-b/b²+2b

б) b-5a/ab+5a²

в) x-4a/x²+4ax

г) a-10y/a²+10ay

В задачах типа 'сумма/разность алгебраических дробей' ключевым моментом является внимательная работа со знаками при разложении знаменателей (например, 4ax-x²=-x(x-4a)). После приведения к общему знаменателю часто возникает ситуация, когда числитель представляет собой полный квадрат, который сокращается с одним из множителей знаменателя.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 95 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 95?

Краткий ответ: а) 2-bb^2+2b; б) b-5aab+5a^2; в) x-4ax^2+4ax; г) a-10ya^2+10ay.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.