8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 99: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 98 100 →

Условие

Преобразуйте в одну дробь следующие выражения

а) разность (2a+b)/(2a²-ab) и 16a/(4a²-b²) минус (2a-b)/(2a²+ab)

б) сумма 1/(a-3)^2, -2/(a²-9) и 1/(a+3)^2

в) сумма (x-2)/(x²+2x+4), -6x/(x³-8) и 1/(x-2)

г) сумма (2a²+/7a+3), -(1-2a)/(a²+a+1) и -3/(a-1).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения этих примеров нам потребуется привести рациональные дроби к общему знаменателю. В каждом пункте сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), а затем выполним сложение или вычитание числителей.

а) Выражение: 2a+b/2a²-ab-16a/4a²-b²-2a-b/2a²+ab

Разложим знаменатели:
2a²-ab=a(2a-b)
4a²-b²=(2a-b)(2a+b)
2a²+ab=a(2a+b)
Наименьший общий знаменатель: a(2a-b)(2a+b).
Приведем дроби к НОЗ:
Первая дробь умножается на (2a+b), вторая — на a, третья — на (2a-b).

Запишем числитель новой дроби:
(2a+b)²-16a²-(2a-b)²
Раскроем скобки:
(4a²+4ab+b²)-16a²-(4a²-4ab+b²)=4a²+4ab+b²-16a²-4a²+4ab-b²
Сгруппируем подобные слагаемые:
(4a²-16a²-4a²)+(4ab+4ab)+(b²-b²)=-16a²+8ab=8a(b-2a)=-8a(2a-b)
Итак, получаем дробь:
-8a(2a-b)/a(2a-b)(2a+b)
Сокращаем на a(2a-b):
-8/2a+b

б) Выражение: 1/(a-3)²-2/a²-9+1/(a+3)²

Разложим средний знаменатель: a²-9=(a-3)(a+3).
НОЗ: (a-3)²(a+3)².
Дополнительные множители: для первой дроби (a+3)², для второй (a-3)(a+3), для третьей (a-3)².

Числитель:
(a+3)²-2(a-3)(a+3)+(a-3)²
Заметим, что это формула квадрата разности (A-B)², где A=a+3, B=a-3.
Тогда числитель равен ((a+3)-(a-3))²=(a+3-a+3)²=6²=36.

Ответ: 36/(a-3)²(a+3)².

в) Выражение: x-2/x²+2x+4-6x/x³-8+1/x-2

Вспомним формулу разности кубов: x³-8=x³-2³=(x-2)(x²+2x+4).
Знаменатели: x²+2x+4, (x-2)(x²+2x+4), x-2.
НОЗ: (x-2)(x²+2x+4)=x³-8.

Числитель:
(x-2)(x-2)-6x+1(x²+2x+4)
=(x²-4x+4)-6x+x²+2x+4
=2x²-8x+8=2(x²-4x+4)=2(x-2)²

Получаем дробь:
2(x-2)²/(x-2)(x²+2x+4)
Сокращаем на (x-2):
2(x-2)/x²+2x+4=2x-4/x²+2x+4

г) Выражение: 2a²+7a+3/a³-1-1-2a/a²+a+1-3/a-1

Разложим a³-1=(a-1)(a²+a+1).
Знаменатели: (a-1)(a²+a+1), a²+a+1, a-1.
НОЗ: (a-1)(a²+a+1)=a³-1.

Числитель:
(2a²+7a+3)-(1-2a)(a-1)-3(a²+a+1)
Раскроем скобки во втором слагаемом: -(1-2a)(a-1)=-(a-1-2a²+2a)=-(-2a²+3a-1)=2a²-3a+1.
Раскроем третье слагаемое: -3a²-3a-3.

Суммируем все части числителя:
(2a²+7a+3)+(2a²-3a+1)+(-3a²-3a-3)
Группируем по степеням a:
a²: 2+2-3=1⇒a²
a: 7-3-3=1⇒a
свободные члены: 3+1-3=1⇒1
Итого числитель: a²+a+1.

Получаем дробь:
a²+a+1/(a-1)(a²+a+1)
Сокращаем на (a²+a+1):
1/a-1

Ответ

а) -8/2a+b

б) 36/(a-3)²(a+3)²

в) 2x-4/x²+2x+4

г) 1/a-1

Во всех пунктах ключевым шагом является правильный выбор общего знаменателя через разложение на множители. В пункте б) удобно заметить свертывание полного квадрата в числителе. В пункте в) используется формула разности кубов. В пункте г) важно аккуратно раскрыть скобки при вычитании дроби с минусом перед ней.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 99 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 99?

Краткий ответ: а) - 82a+b; б) 36(a-3)^2(a+3)^2; в) 2x-4x^2+2x+4; г) 1a-1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.