ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 101: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите тождественное равенство выражений
а) сумма 3/(a2-3a) и a^2/(a-3) равна выражению a+3+(9a+3)/(a2-3a)
б) разность a^3/(a2-4), a/(a-2) и 2/(a+2) равна выражению a-1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства тождественного равенства рациональных дробей необходимо привести все слагаемые левой части к общему знаменателю, выполнить сложение или вычитание числителей и упростить полученное выражение. Если результат совпадает с правой частью равенства, тождество доказано.
а) Сумма 3/a2-3a и a2/a-3 равна a+3+9a+3/a2-3a
1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: a2-3a=a(a-3).
2. Общий знаменатель для дробей 3/a(a-3) и a2/a-3 равен a(a-3).
3. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на a:
a2/a-3=a2·a/(a-3)·a=a3/a(a-3)4. Выполним сложение:
3/a(a-3)+a3/a(a-3)=a3+3/a(a-3)5. Теперь преобразуем правую часть равенства, чтобы сравнить её с полученным результатом. Вынесем целую часть a+3 за скобки в общем знаменателе a(a-3):
a+3+9a+3/a(a-3)=(a+3)a(a-3)+9a+3/a(a-3)6. Раскроем скобки в числителе правой части. Заметим, что (a+3)(a-3)=a2-9. Тогда:
(a+3)a(a-3)=a(a2-9)=a3-9a7. Подставим это обратно в числитель:
a3-9a+9a+3/a(a-3)=a3+3/a(a-3)Вывод по пункту а): Левая часть равна a3+3/a(a-3), правая часть после приведения к общему знаменателю также равна a3+3/a(a-3). Тождество доказано.
б) Разность a3/a2-4, a/a-2 и 2/a+2 равна a-1
1. Запишем разность согласно условию:
a3/a2-4-a/a-2-2/a+22. Разложим знаменатель первой дроби: a2-4=(a-2)(a+2). Это же является общим знаменателем для всех трех дробей.
3. Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю:
a/a-2=a(a+2)/(a-2)(a+2)=a2+2a/a2-4 2/a+2=2(a-2)/(a+2)(a-2)=2a-4/a2-44. Выполним вычитание числителей над общим знаменателем:
a3-(a2+2a)-(2a-4)/a2-4=a3-a2-2a-2a+4/a2-4=a3-a2-4a+4/a2-45. Упростим числитель методом группировки:
a3-a2-4a+4=a2(a-1)-4(a-1)=(a-1)(a2-4)6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
(a-1)(a2-4)/a2-47. Сократим на общий множитель (a2-4) (при условии a≠±2):
a-1Вывод по пункту б): Результат вычислений левой части равен a-1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Тождества доказаны.
В пункте а) важно аккуратно раскрыть скобки при приведении правой части к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов. В пункте б) ключевым шагом является группировка членов в числителе resulting polynomial.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 101 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 101?
Краткий ответ: Тождества доказаны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.