ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 100: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Выполните действия с дробями
а) вычислите сумму 1/(a-4b), -1/(a+4b) и -2a/(16b2-a2)
б) вычислите сумму 1/(2b-2a), 1/(2b+2a) и a^2/(a2b-b3).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для выполнения действий с рациональными дробями необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов, вынесение общего множителя). Затем найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ), домножим числители соответствующих дробей и выполним сложение/вычитание. В конце упростим полученную дробь.
Решение пункта а)
Дано выражение: 1/a-4b-1/a+4b-2a/16b2-a2
- Разложим знаменатели на множители.
- a-4b — уже разложен.
- a+4b — уже разложен.
- 16b2-a2=(4b)2-a2=(4b-a)(4b+a). Заметим, что 4b-a=-(a-4b), поэтому 16b2-a2=-(a-4b)(a+4b).
- Найдем общий знаменатель. НОЗ равен (a-4b)(a+4b).
- Приведем дроби к общему знаменателю: 1(a+4b)/(a-4b)(a+4b)-1(a-4b)/(a-4b)(a+4b)+2a/(a-4b)(a+4b)
- Сложим числители: (a+4b)-(a-4b)+2a/(a-4b)(a+4b)=a+4b-a+4b+2a/(a-4b)(a+4b)=8b+2a/(a-4b)(a+4b)
- Упростим результат. Вынесем общий множитель 2 в числителе: 2(4b+a)/(a-4b)(a+4b) Сократим на (a+4b): 2/a-4b
Проверка для пункта а):
Подставим простые числа, например, a=5,b=1. Исходное выражение: 1/1-1/9-10/16-25=1-1/9-10/-9=1-1/9+10/9=1+9/9=2. Ответ по формуле: 2/5-4=2. Совпадает.
Решение пункта б)
Дано выражение: 1/2b-2a+1/2b+2a+a2/a2b-b3
- Разложим знаменатели на множители.
- 2b-2a=2(b-a).
- 2b+2a=2(b+a).
- a2b-b3=b(a2-b2)=b(a-b)(a+b). Заметим, что a-b=-(b-a), поэтому a2b-b3=-b(b-a)(a+b).
- Найдем общий знаменатель. Он должен содержать множители 2, b, (b-a) и (b+a). НОЗ: 2b(b-a)(b+a).
- Приведем дроби к общему знаменателю:
- Первая дробь: домножаем числитель и знаменатель на b(b+a): b(b+a)/2b(b-a)(b+a).
- Вторая дробь: домножаем числитель и знаменатель на b(b-a): b(b-a)/2b(b-a)(b+a).
- Третья дробь: домножаем числитель и знаменатель на 2: -2a2/2b(b-a)(b+a).
- Запишем итоговую дробь: 2b2-2a2/2b(b-a)(b+a) Вынесем 2 в числителе: 2(b2-a2)/2b(b-a)(b+a) Раскроем разность квадратов в числителе: b2-a2=(b-a)(b+a). 2(b-a)(b+a)/2b(b-a)(b+a)
- Сократим общие множители 2, (b-a) и (b+a): 1/b
Проверка для пункта б):
Подставим a=1,b=2. Исходное выражение: 1/4-2+1/4+2+1/2-8=1/2+1/6-1/6=1/2. Ответ по формуле: 1/2. Совпадает.
а) 2/a-4b
б) 1/b
В пункте а) важно обратить внимание на знак при разложении 16b2-a2. В пункте б) также требуется аккуратная работа со знаками при переходе от a-b к b-a.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 100 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 100?
Краткий ответ: а) 2a-4b; б) 1b.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.