ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 98: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Представьте в виде одной алгебраической дроби выражения
а) сумма дробей 4/(y+2), -3/(y-2) и 12/(y2-4)
б) сумма дробей a/(a-6), -3/(a+6) и a^2/(36-a2)
в) разность дробей x^2/(x-y)^2 и (x+y)/(2x-2y)
г) разность дробей b/(a-b)^2 и (a+b)/(b2-ab).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этих примеров нам нужно привести рациональные дроби к общему знаменателю. Вспомним формулы сокращённого умножения: разность квадратов a2-b2=(a-b)(a+b) и квадрат разности (a-b)2. Также учтём, что смена знака в знаменателе меняет знак всей дроби.
а) Выражение: 4/y+2-3/y-2+12/y2-4. Знаменатель третьей дроби раскладывается как (y-2)(y+2). Общий знаменатель: (y-2)(y+2). Дополнительные множители: для первой дроби (y-2), для второй (y+2), для третьей 1. Сводим: 4(y-2)-3(y+2)+12/(y-2)(y+2)=4y-8-3y-6+12/y2-4=y-2/(y-2)(y+2) Сокращаем на (y-2) при условии y≠2: 1/y+2
б) Выражение: a/a-6-3/a+6+a2/36-a2. Заметим, что 36-a2=-(a2-36)=-(a-6)(a+6). Перенесём минус из знаменателя в числитель или перед дробью: a2/36-a2=-a2/(a-6)(a+6). Общий знаменатель: (a-6)(a+6). Сводим: a(a+6)-3(a-6)-a2/(a-6)(a+6)=a2+6a-3a+18-a2/(a-6)(a+6)=3a+18/(a-6)(a+6) Выносим общий множитель 3 в числителе: 3(a+6)/(a-6)(a+6) Сокращаем на (a+6) при условии a≠-6: 3/a-6
в) Выражение: x2/(x-y)2-x+y/2x-2y. Второй знаменатель вынесем за скобки: 2(x-y). Общий знаменатель: 2(x-y)2. Дополнительные множители: для первой дроби 2, для второй (x-y). Сводим: 2x2-(x+y)(x-y)/2(x-y)2 Раскрываем произведение по формуле разности квадратов: 2x2-(x2-y2)/2(x-y)2=2x2-x2+y2/2(x-y)2=x2+y2/2(x-y)2 Дальнейшему сокращению не подлежит.
г) Выражение: b/(a-b)2-a+b/b2-ab. Второй знаменатель вынесем за скобки: b(b-a). Заметим, что (a-b)2=(b-a)2. Чтобы привести к одному виду, перепишем первый знаменатель как (b-a)2 или во втором заменим b-a на -(a-b). Удобнее использовать (a-b)2 как основу, но тогда во втором знаменателе будет минус. b2-ab=b(b-a)=-b(a-b). Тогда выражение: b/(a-b)2-a+b/-b(a-b)=b/(a-b)2+a+b/b(a-b). Общий знаменатель: b(a-b)2. Дополнительные множители: для первой дроби b, для второй (a-b). Сводим: b·b+(a+b)(a-b)/b(a-b)2=b2+(a2-b2)/b(a-b)2=a2/b(a-b)2 Проверим ключ ответа: там стоит -a2/b(b-a)2. Так как (a-b)2=(b-a)2, то мой ответ эквивалентен положительному значению. Однако давайте внимательно посмотрим на исходное условие пункта г). Условие: разность дробей b/(a-b)2 и a+b/b2-ab. Я получил a2/b(a-b)2. Ключ предлагает -a2/b(b-a)2. Поскольку (b-a)2=(a-b)2, то ключ равен -a2/b(a-b)2. Где ошибка? Проверим знаки. a+b/b2-ab=a+b/b(b-a). Если мы приводим к знаменателю b(a-b)2, то домножаем числитель на -(a-b)? Нет. Давайте возьмём общий знаменатель b(a-b)2. Первая дробь: b/(a-b)2=b·b/b(a-b)2=b2/b(a-b)2. Вторая дробь: a+b/b(b-a). Заменим b-a на -(a-b). Получаем a+b/-b(a-b)=-a+b/b(a-b). Чтобы получить знаменатель b(a-b)2, домножим числитель и знаменатель на (a-b): -(a+b)(a-b)/b(a-b)2=-a2-b2/b(a-b)2=b2-a2/b(a-b)2. Теперь вычитаем вторую дробь из первой (так как в условии «разность»): b2/b(a-b)2-b2-a2/b(a-b)2=b2-(b2-a2)/b(a-b)2=a2/b(a-b)2. Мой результат a2/b(a-b)2 верен алгебраически. Ключ содержит лишний минус или опечатку в знаке перед дробью в условии учебника (если бы было сложение, был бы минус). Но согласно строгому следованию условию «разность», ответ положительный. Однако, часто в таких задачах подразумевается приведение к виду с (b-a). a2/b(a-b)2=a2/b(b-a)2. Ключ даёт -a2/b(b-a)2. Это противоречие. Перепроверю арифметику. Если ключ прав, то возможно я неверно истолковал «разность». Разность A-B. A=b/(a-b)2, B=a+b/b(b-a). B=a+b/-b(a-b). A-B=b/(a-b)2-a+b/-b(a-b)=b/(a-b)2+a+b/b(a-b). ОЗ: b(a-b)2. Числитель: b2+(a+b)(a-b)=b2+a2-b2=a2. Итог: a2/b(a-b)2. Это равно a2/b(b-a)2. Ключ говорит -a2/b(b-a)2. Вероятно, в ключе ошибка или в условии опечатка (например, если бы вторая дробь была с плюсом в знаменателе ab-b2?). Но я обязан писать своё решение, если числа дают другой результат. Я напишу свой корректный вывод.
а) 1/y+2
б) 3/a-6
в) x2+y2/2(x-y)2
г) a2/b(a-b)2
В пункте г) полученный ответ a2/b(a-b)2 отличается знаком от предложенного ключа -a2/b(b-a)2. Алгебраическая проверка показывает, что при условии «разность» и данных знаменателях минус лишний. Ответ дан строго по вычислениям.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 98 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 98?
Краткий ответ: а) 1y+2; б) 3a-6; в) x^2+y^22(x-y)^2; г) a^2b(a-b)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.