ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 102: Сумма и разность дробей

План решения:

• Определим область допустимых значений (ОДЗ) для каждого выражения, исключив нули в знаменателях.
• Приведем рациональные дроби к общему знаменателю и выполним алгебраические преобразования числителя.
• Упростим полученное выражение и проанализируем знак результата на ОДЗ.

Решение пункта а)

Выражение: x²+3x/x+2-3x²-14x+16/x²-4+2x.

1. ОДЗ: Знаменатели не должны обращаться в ноль. x+2≠0⇒x≠-2. x²-4≠0⇒(x-2)(x+2)≠0⇒x≠2,x≠-2. Итак, ОДЗ: x∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞).

2. Преобразование: Общий знаменатель равен x²-4=(x-2)(x+2). Первое слагаемое домножим на (x-2): (x²+3x)(x-2)/x²-4=x³-2x²+3x²-6x/x²-4=x³+x²-6x/x²-4 Третье слагаемое представим как дробь со знаменателем x²-4: 2x=2x(x²-4)/x²-4=2x³-8x/x²-4 Сложим все части под общим знаменателем: (x³+x²-6x)-(3x²-14x+16)+(2x³-8x)/x²-4 Раскроем скобки в числителе: x³+x²-6x-3x²+14x-16+2x³-8x=3x³-2x²+0x-16=3x³-2x²-16 Попробуем разложить числитель 3x³-2x²-16. Заметим, что при x=2 значение равно 3(8)-2(4)-16=24-8-16=0. Значит, (x-2) является множителем. Выполним деление многочлена на (x-2) или сгруппируем: 3x³-6x²+4x²-8x+8x-16=3x²(x-2)+4x(x-2)+8(x-2)=(x-2)(3x²+4x+8) Подставим обратно в дробь: (x-2)(3x²+4x+8)/(x-2)(x+2) Так как x≠2, сокращаем на (x-2): 3x²+4x+8/x+2 Проверим знак квадратного трехчлена 3x²+4x+8. Дискриминант D=4²-4·3·8=16-96=-80<0. Так как старший коэффициент 3>0, то 3x²+4x+8>0 при всех x.

3. Анализ знака: Нам нужно доказать, что выражение положительно. Мы получили упрощенную форму 3x²+4x+8/x+2. Числитель всегда положителен. Знак всей дроби зависит от знаменателя x+2. Если x>-2 (и x≠2), то x+2>0, дробь положительна. Если x<-2, то x+2<0, дробь отрицательна. Внимание: В условии задачи сказано «Докажите, что ... значение выражения является положительным числом». Однако математический анализ показывает, что это верно только при x>-2. При x<-2 значение отрицательно. Возможно, в исходном учебнике подразумевалась дополнительная оговорка или опечатка в условии/выражении. Но строго по алгебре: выражение принимает положительные значения при x∈(-2;2)∪(2;+∞) и отрицательные при x∈(-∞;-2). Если задача требует доказательства positivity для *всех* допустимых значений, то условие противоречиво. Тем не менее, часто в таких задачах проверяется конкретный интервал или есть ошибка в переписывании условия. Предположим, что мы просто упростили выражение. Для школьной практики важно показать ход упрощения до 3x²+4x+8/x+2.

Решение пункта б)

Выражение: y+2y²+3y+1/y²-1-y³+2y/y-1.

1. ОДЗ: y²-1≠0⇒y≠1,y≠-1. y-1≠0⇒y≠1. Итак, ОДЗ: y∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞).

2. Преобразование: Общий знаменатель y²-1=(y-1)(y+1). Первое слагаемое y приводим к знаменателю y²-1: y(y²-1)/y²-1=y³-y/y²-1. Третье слагаемое домножаем на (y+1): (y³+2y)(y+1)/y²-1=y⁴+y³+2y²+2y/y²-1 Собираем всё вместе: (y³-y)+(2y²+3y+1)-(y⁴+y³+2y²+2y)/y²-1 Упрощаем числитель: y³-y+2y²+3y+1-y⁴-y³-2y²-2y=-y⁴+(y³-y³)+(2y²-2y²)+(-y+3y-2y)+1=-y⁴+0+0+0+1=1-y⁴ Получаем выражение: 1-y⁴/y²-1 Разложим числитель на множители: 1-y⁴=(1-y²)(1+y²)=-(y²-1)(1+y²). Подставим в дробь: -(y²-1)(1+y²)/y²-1 Так как y≠±1, сокращаем на (y²-1): -(1+y²)=-1-y²

3. Анализ знака: Для любого действительного числа y выполняется неравенство y²≥0. Следовательно, 1+y²≥1>0. Тогда -(1+y²)<0. Значит, значение выражения всегда отрицательно при любых допустимых значениях y. Что и требовалось доказать.