8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 104: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Кирилл Панов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 103 105 →

Условие

Сначала необходимо доказать тождество 1/(x+n) - 1/(x+n+1) = 1/((x+n)(x+n+1)). Затем, используя это тождество, упростить сумму трех дробей: 1/((x+1)(x+2)) + 1/((x+2)(x+3)) + 1/((x+3)(x+4)).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Сначала докажем вспомогательное тождество, приведя левую часть к общему знаменателю.
Затем применим это тождество для разложения каждой дроби в заданной сумме на разность двух простых дробей.
В результате получится телескопическая сумма, где промежуточные члены сократятся, и останется только упрощённое выражение.

Доказательство тождества:

Рассмотрим левую часть равенства: 1/x+n-1/x+n+1.

Приведём дроби к общему знаменателю (x+n)(x+n+1):

1·(x+n+1)/(x+n)(x+n+1)-1·(x+n)/(x+n)(x+n+1)=x+n+1-(x+n)/(x+n)(x+n+1)

Упростим числитель: x+n+1-x-n=1. Таким образом, получаем правую часть тождества:

1/(x+n)(x+n+1)

Тождество доказано.

Упрощение суммы:

Используем доказанное тождество для каждого слагаемого исходной суммы. Здесь n принимает значения 1, 2 и 3 соответственно.

Для первой дроби (n=1): 1/(x+1)(x+2)=1/x+1-1/x+2
Для второй дроби (n=2): 1/(x+2)(x+3)=1/x+2-1/x+3
Для третьей дроби (n=3): 1/(x+3)(x+4)=1/x+3-1/x+4

Подставим эти разности в исходную сумму:

(1/x+1-1/x+2)+(1/x+2-1/x+3)+(1/x+3-1/x+4)

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые. Заметим, что -1/x+2 и +1/x+2 взаимно уничтожаются, как и -1/x+3 с +1/x+3.

Остаются только первое и последнее слагаемые:

1/x+1-1/x+4

Теперь выполним обратное действие — приведём полученную разность к общему знаменателю, чтобы получить единственную дробь:

1·(x+4)-1·(x+1)/(x+1)(x+4)=x+4-x-1/(x+1)(x+4)=3/(x+1)(x+4)

Проверка:

Возьмём конкретное значение переменной, например, x=1.

Исходная сумма: 1/2·3+1/3·4+1/4·5=1/6+1/12+1/20. Общий знаменатель 60: 10+5+3/60=18/60=3/10=0.3.

Полученный ответ: 3/(1+1)(1+4)=3/2·5=3/10=0.3.

Результаты совпадают, решение верно.

Ответ

3/(x+1)(x+4)

Задача требует применения метода телескопического суммирования. Ключевой этап — доказательство базового тождества, которое позволяет представить произведение линейных множителей в знаменателе как разность обратных величин этих множителей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 104 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 104?

Краткий ответ: 3(x+1)(x+4).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.