9 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе II. К параграфу 3

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 209: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 208 210 →

Условие

Функция задана формулой y=x²+px+q. Найти p и q, если

а) нули функции — числа 3 и 4

б) график пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0); в) наименьшее значение функции равно 24 и достигается при x=6.

График

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим квадратичную функцию y=x²+px+q. Нам необходимо найти коэффициенты p и q для трёх различных случаев, используя свойства корней, точек пересечения с осями и вершины параболы.

а) Нули функции — числа 3 и 4

Если нулями функции являются x₁=3 и x₂=4, то по теореме Виета для приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0 сумма корней равна -p, а произведение равно q.

Сумма корней: x₁+x₂=3+4=7. Следовательно, -p=7⇒p=-7.
Произведение корней: x₁·x₂=3·4=12. Следовательно, q=12.

Таким образом, в первом случае p=-7,q=12.

б) График пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0)

Точка (0;6) лежит на графике функции. Подставим x=0 и y=6 в формулу:

6=0²+p·0+q⇒q=6

Точка (2;0) также лежит на графике. Это означает, что x=2 является одним из корней уравнения x²+px+6=0. Подставим x=2 и y=0:

0=2²+p·2+6 0=4+2p+6 2p=-10⇒p=-5

Таким образом, во втором случае p=-5,q=6.

в) Наименьшее значение функции равно 24 и достигается при x=6

Так как коэффициент при x² равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх, и функция действительно имеет наименьшее значение в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле x₀=-b/2a. В нашем случае a=1,b=p, поэтому:

x₀=-p/2

По условию x₀=6, значит:

6=-p/2⇒p=-12

Ордината вершины (наименьшее значение функции) равна y(x₀). Подставим найденное p=-12 и x=6 в уравнение, зная, что y(6)=24:

24=6²+(-12)·6+q 24=36-72+q 24=-36+q⇒q=60

Таким образом, в третьем случае p=-12,q=60.

Ответ

а) p=-7, q=12

б) p=-5, q=6

в) p=-12, q=60

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 209 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 209?

Краткий ответ: а) p = -7, q = 12 б) p = -5, q = 6 в) p = -12, q = 60.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе II. К параграфу 3.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.