ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 205: метод координат

Для построения графиков квадратичных функций и описания их свойств будем использовать общий алгоритм: находим вершину параболы, точки пересечения с осями координат, ось симметрии и направление ветвей.

а) y=x²+2x-15

• Направление ветвей: Так как старший коэффициент a=1>0, ветви направлены вверх.
• Вершина параболы: Координата x₀=-b/2a=-2/2·1=-1. Тогда y₀=(-1)²+2(-1)-15=1-2-15=-16. Вершина: (-1;-16).
• Точки пересечения с осью Ox (y=0): Решаем уравнение x²+2x-15=0. По теореме Виета корни x₁=3,x₂=-5. Точки: (3;0),(-5;0).
• Точка пересечения с осью Oy (x=0): y=-15. Точка: (0;-15).
• Свойства: Область определения D(y)=(-∞;+∞). Множество значений E(y)=[-16;+∞). Функция убывает на промежутке (-∞;-1] и возрастает на [-1;+∞). Наименьшее значение -16 при x=-1. Нули функции: x=-5,x=3. Промежутки знакопостоянства: y<0 при x∈(-5;3), y>0 при x∈(-∞;-5)∪(3;+∞).

б) y=0,5x²-3x+4

• Направление ветвей: a=0,5>0, ветви вверх.
• Вершина параболы: x₀=--3/2·0,5=3/1=3. y₀=0,5(3)²-3(3)+4=4,5-9+4=-0,5. Вершина: (3;-0,5).
• Точки пересечения с осью Ox: 0,5x²-3x+4=0⇒x²-6x+8=0. Корни x₁=2,x₂=4. Точки: (2;0),(4;0).
• Точка пересечения с осью Oy: y=4. Точка: (0;4).
• Свойства: D(y)=(-∞;+∞), E(y)=[-0,5;+∞). Убывание на (-∞;3], возрастание на [3;+∞). Минимум -0,5 при x=3. Нули: x=2,x=4. y<0 при x∈(2;4), y>0 при x∈(-∞;2)∪(4;+∞).

в) y=4-0,5x²

• Направление ветвей: a=-0,5<0, ветви вниз.
• Вершина параболы: Это неполное квадратное уравнение вида y=ax²+c. Вершина лежит на оси Oy: x₀=0, y₀=4. Вершина: (0;4).
• Точки пересечения с осью Ox: 4-0,5x²=0⇒0,5x²=4⇒x²=8⇒x=±8=±22. Приближенно x≈±2,8. Точки: (22;0),(-22;0).
• Свойства: D(y)=(-∞;+∞), E(y)=(-∞;4]. Убывание на [0;+∞), возрастание на (-∞;0]. Максимум 4 при x=0. Нули: x=±22. y>0 при x∈(-22;22), y<0 при x∈(-∞;-22)∪(22;+∞).

г) y=6x-2x²

• Направление ветвей: a=-2<0, ветви вниз.
• Вершина параболы: x₀=-6/2·(-2)=-6/-4=1,5. y₀=6(1,5)-2(1,5)²=9-2(2,25)=9-4,5=4,5. Вершина: (1,5;4,5).
• Точки пересечения с осью Ox: 6x-2x²=0⇒2x(3-x)=0. Корни x₁=0,x₂=3. Точки: (0;0),(3;0).
• Свойства: D(y)=(-∞;+∞), E(y)=(-∞;4,5]. Возрастание на (-∞;1,5], убывание на [1,5;+∞). Максимум 4,5 при x=1,5. Нули: x=0,x=3. y>0 при x∈(0;3), y<0 при x∈(-∞;0)∪(3;+∞).

д) y=(2x-7)(x+1)

• Приведение к стандартному виду: Раскроем скобки: y=2x²+2x-7x-7=2x²-5x-7. Здесь a=2,b=-5,c=-7.
• Направление ветвей: a=2>0, ветви вверх.
• Вершина параболы: x₀=--5/2·2=5/4=1,25. y₀=2(1,25)²-5(1,25)-7=2(1,5625)-6,25-7=3,125-13,25=-10,125. Вершина: (1,25;-10,125).
• Точки пересечения с осью Ox: Из разложения видно, что нули функции — это решения уравнений 2x-7=0 и x+1=0. То есть x₁=3,5 и x₂=-1. Точки: (3,5;0),(-1;0).
• Свойства: D(y)=(-∞;+∞), E(y)=[-10,125;+∞). Убывание на (-∞;1,25], возрастание на [1,25;+∞). Минимум -10,125 при x=1,25. Нули: x=-1,x=3,5. y<0 при x∈(-1;3,5), y>0 при x∈(-∞;-1)∪(3,5;+∞).

е) y=(2-x)(x+6)

• Приведение к стандартному виду: y=2x+12-x²-6x=-x²-4x+12. Здесь a=-1,b=-4,c=12.
• Направление ветвей: a=-1<0, ветви вниз.
• Вершина параболы: x₀=--4/2·(-1)=4/-2=-2. y₀=-(-2)²-4(-2)+12=-4+8+12=16. Вершина: (-2;16).
• Точки пересечения с осью Ox: Из разложения: 2-x=0⇒x=2; x+6=0⇒x=-6. Точки: (2;0),(-6;0).
• Свойства: D(y)=(-∞;+∞), E(y)=(-∞;16]. Возрастание на (-∞;-2], убывание на [-2;+∞). Максимум 16 при x=-2. Нули: x=-6,x=2. y>0 при x∈(-6;2), y<0 при x∈(-∞;-6)∪(2;+∞).