9 класс неравенства Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 340: неравенства

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 339 341 →

Условие

Докажите, что при любом значении x верно неравенство

а) 2(x + 1)(x-3)>(x+5)(x - 7)

б) 1/4(x + 5)(x - 7) <= (x + 2)(x - 4).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Чтобы доказать неравенства, мы воспользуемся методом разности. Если разность левой части и правой части положительна (или неотрицательна), то исходное неравенство верно.

а) Докажем, что 2(x+1)(x-3)>(x+5)(x-7)

Раскроем скобки в левой части: 2(x²-3x+x-3)=2(x²-2x-3)=2x²-4x-6
Раскроем скобки в правой части: x²-7x+5x-35=x²-2x-35
Найдём разность левой и правой частей: (2x²-4x-6)-(x²-2x-35)=2x²-4x-6-x²+2x+35=x²-2x+29
Выделим полный квадрат в полученном выражении: x²-2x+29=(x²-2x+1)+28=(x-1)²+28
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ((x-1)²≥0), то сумма (x-1)²+28 всегда строго больше нуля (минимальное значение равно 28).

Следовательно, разность положительна при любом x, значит, неравенство 2(x+1)(x-3)>(x+5)(x-7) верно.

б) Докажем, что 1/4(x+5)(x-7)≤(x+2)(x-4)

Для удобства умножим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется): (x+5)(x-7)≤4(x+2)(x-4)
Раскроем скобки в левой части: x²-7x+5x-35=x²-2x-35
Раскроем скобки в правой части: 4(x²-4x+2x-8)=4(x²-2x-8)=4x²-8x-32
Перенесём всё в правую часть или найдём разность (Правая - Левая), чтобы проверить неотрицательность: (4x²-8x-32)-(x²-2x-35)=4x²-8x-32-x²+2x+35=3x²-6x+3
Вынесем общий множитель и выделим полный квадрат: 3(x²-2x+1)=3(x-1)²
Так как (x-1)²≥0 для любого x, то и 3(x-1)²≥0. Это означает, что правая часть исходного неравенства (после умножения на 4) всегда больше или равна левой части.

Следовательно, неравенство 1/4(x+5)(x-7)≤(x+2)(x-4) верно при любом значении x.

Ответ

а) Разность ЛЧ и ПЧ равна (x-1)²+28>0, неравенство доказано.

б) После преобразований разность ПЧ и ЛЧ равна 3(x-1)²≥0, неравенство доказано.

Использован метод разности и выделения полного квадрата. В пункте б) удобно было сначала домножить на 4, чтобы избавиться от дроби.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 340 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 340?

Краткий ответ: а) Разность ЛЧ и ПЧ равна (x-1)^2+28 > 0, неравенство доказано. б) После преобразований разность ПЧ и ЛЧ равна 3(x-1)^2 0, неравенство доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.