9 класс уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 338: уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 337 339 →

Условие

Решите уравнения

а) x³+1/x³=22(x+1/x)

б) x³-1/x³=19(x-1/x).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим уравнения вида x³±1/x³=k(x±1/x). Для их решения удобно использовать замену переменной. Заметим, что выражения x+1/x и x-1/x связаны с кубами через формулы сокращённого умножения.

а) Решим уравнение x³+1/x³=22(x+1/x)

Введём замену: пусть t=x+1/x. Тогда x³+1/x³=t³-3t.
Подставим в исходное уравнение: t³-3t=22t
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители: t³-25t=0⇒t(t²-25)=0
Корни для t: t₁=0, t₂=5, t₃=-5.
Вернёмся к переменной x:

Если t=0, то x+1/x=0⇒x²+1=0. Действительных корней нет.
Если t=5, то x+1/x=5⇒x²-5x+1=0. Дискриминант D=25-4=21. Корни: x_1,2=5±21/2.
Если t=-5, то x+1/x=-5⇒x²+5x+1=0. Дискриминант D=25-4=21. Корни: x_3,4=-5±21/2.

Примечание: В ключе ответа указаны значения -2,5±5,25 и т.д. Проверим, совпадают ли они с нашими результатами. 5±21/2=2,5±21/2=2,5±21/4=2,5±5,25. Да, результаты идентичны.

б) Решим уравнение x³-1/x³=19(x-1/x)

Введём замену: пусть u=x-1/x. Тогда x³-1/x³=u³+3u.
Подставим в исходное уравнение: u³+3u=19u
Перенесём всё в одну сторону: u³-16u=0⇒u(u²-16)=0
Корни для u: u₁=0, u₂=4, u₃=-4.
Вернёмся к переменной x:

Если u=0, то x-1/x=0⇒x²-1=0⇒x=±1.
Если u=4, то x-1/x=4⇒x²-4x-1=0. Дискриминант D=16+4=20. Корни: x_3,4=4±20/2=2±5.
Если u=-4, то x-1/x=-4⇒x²+4x-1=0. Дискриминант D=16+4=20. Корни: x_5,6=-4±20/2=-2±5.

Таким образом, мы получили все шесть действительных корней.

Ответ

а) 2,5-5,25; 2,5+5,25; -2,5-5,25; -2,5+5,25

б) -1; 1; 2-5; 2+5; -2-5; -2+5

Для пункта а) ключевые ответы даны в виде десятичных дробей под корнем (5,25), что эквивалентно 21/2. Для пункта б) ответы стандартные. Важно помнить область допустимых значений: x≠0.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 338 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 338?

Краткий ответ: а) 2,5 - 5,25; 2,5 + 5,25; -2,5 - 5,25; -2,5 + 5,25 б) -1; 1; 2 - √5; 2 + √5; -2 - √5; -2 + √5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.