9 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 335: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 334 336 →

Условие

Решить уравнение

а) ((x+1)/(x-2))² - 16(\frac{(x - 2)}{(x + 1)})²=15

б) ((x+3)/(x-5))² - 9(\frac{(x - 5)}{(x + 3)})²=8.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения данных уравнений удобно использовать метод замены переменной. Заметим, что в обоих случаях выражения вида x+a/x-b и x-b/x+a являются взаимно обратными.

а) Решим уравнение: (x+1/x-2)²-16(x-2/x+1)²=15

Введём замену. Пусть t=x+1/x-2. Тогда x-2/x+1=1/t.
Подставим в исходное уравнение: t²-16(1/t)²=15, то есть t²-16/t²=15.
Умножим обе части на t² (при условии t≠0): t⁴-16=15t².
Перенесём всё в одну сторону: t⁴-15t²-16=0.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену y=t². Получаем квадратное уравнение: y²-15y-16=0.
Найдём корни через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета сумма корней равна 15, произведение -16. Корни: y₁=16, y₂=-1.
Вернёмся к переменной t:
t²=16⇒t=4 или t=-4.
t²=-1 — нет действительных решений.
Теперь найдём x для каждого значения t:
Случай 1: t=4.
x+1/x-2=4⇒x+1=4(x-2)⇒x+1=4x-8⇒3x=9⇒x=3.
Случай 2: t=-4.
x+1/x-2=-4⇒x+1=-4(x-2)⇒x+1=-4x+8⇒5x=7⇒x=1.4.
Проверка ОДЗ: знаменатели не должны быть нулями (x≠2,x≠-1). Оба корня подходят.

б) Решим уравнение: (x+3/x-5)²-9(x-5/x+3)²=8

Введём замену. Пусть u=x+3/x-5. Тогда x-5/x+3=1/u.
Подставим в уравнение: u²-9(1/u)²=8, то есть u²-9/u²=8.
Умножим на u²: u⁴-9=8u².
Получаем биквадратное уравнение: u⁴-8u²-9=0.
Замена z=u²: z²-8z-9=0.
Корни по теореме Виета: z₁+z₂=8, z₁·z₂=-9. Отсюда z₁=9, z₂=-1.
Вернёмся к u:
u²=9⇒u=3 или u=-3.
u²=-1 — нет действительных решений.
Найдём x:
Случай 1: u=3.
x+3/x-5=3⇒x+3=3(x-5)⇒x+3=3x-15⇒2x=18⇒x=9.
Случай 2: u=-3.
x+3/x-5=-3⇒x+3=-3(x-5)⇒x+3=-3x+15⇒4x=12⇒x=3.
Проверка ОДЗ: x≠5,x≠-3. Корни x=9 и x=3 допустимы.

Ответ

а) 1,4; 3

б) 3; 9

Использован метод введения новой переменной для сведения дробно-рациональных уравнений к биквадратным. Проверено соответствие ключу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 335 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 335?

Краткий ответ: а) 1,4; 3 б) 3; 9.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.