ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 336: квадратные уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решить уравнение, используя введение новой переменной
а) 2(x2+1/x2)-(x+1/x)=2
б) 9x2-18x+9/x2-18/x=22.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения уравнений данного типа удобно использовать метод введения новой переменной. Заметим, что в обоих случаях выражения содержат суммы или разности вида x+1/x и x2+1/x2. Вспомним тождество: (x+1/x)2=x2+2+1/x2 Отсюда следует, что x2+1/x2=(x+1/x)2-2 Это соотношение позволит нам выразить квадраты через линейную комбинацию.
а) Решим уравнение 2(x2+1/x2)-(x+1/x)=2
- Введём новую переменную t=x+1/x. Тогда x2+1/x2=t2-2.
- Подставим эти выражения в исходное уравнение: 2(t2-2)-t=2
- Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 2t2-4-t=2⇒2t2-t-6=0
- Решим полученное квадратное уравнение относительно t. Найдём дискриминант: D=(-1)2-4·2·(-6)=1+48=49 Корни уравнения: t1=1+7/4=2, t2=1-7/4=-1.5
- Вернёмся к переменной x.
Случай 1: x+1/x=2. Умножим на x (при x≠0): x2-2x+1=0⇒(x-1)2=0⇒x=1
Случай 2: x+1/x=-1.5. x2+1.5x+1=0⇒2x2+3x+2=0 Дискриминант этого уравнения D=32-4·2·2=9-16=-7<0, действительных корней нет.
Таким образом, единственный корень уравнения а) — это x=1.
б) Решим уравнение 9x2-18x+9/x2-18/x=22
- Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить структуру для замены: 9(x2+1/x2)-18(x+1/x)=22
- Введём ту же замену t=x+1/x, тогда x2+1/x2=t2-2.
- Подставим в уравнение: 9(t2-2)-18t=22
- Упростим: 9t2-18-18t=22⇒9t2-18t-40=0
- Найдём корни квадратного уравнения относительно t: D=(-18)2-4·9·(-40)=324+1440=1764 D=42 t1=18+42/18=60/18=10/3, t2=18-42/18=-24/18=-4/3
- Вернёмся к переменной x.
Случай 1: x+1/x=10/3. Умножим на 3x: 3x2-10x+3=0 Dx=100-36=64, x1,2=10±8/6 x1=18/6=3, x2=2/6=1/3
Случай 2: x+1/x=-4/3. Умножим на 3x: 3x2+4x+3=0 Dx=16-36=-20<0 Действительных корней нет.
Корнями уравнения б) являются x=3 и x=1/3.
а) 1
б) 1/3; 3
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 336 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 336?
Краткий ответ: а) 1 б) 13; 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.