ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 337: квадратные уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите значения a, при которых сумма чисел a и 1/a в 31/4 раза меньше суммы их кубов.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Запишем условие задачи в виде алгебраического уравнения.
- Обозначим сумму чисел a и 1/a через переменную t, чтобы упростить выражение для суммы кубов.
- Решим полученное квадратное уравнение относительно t, а затем найдём значения a.
Вычисление:
По условию, сумма чисел a и 1/a в 31/4 раза меньше суммы их кубов. Это означает, что сумма кубов в 31/4 раза больше суммы самих чисел.
Переведём смешанное число в неправильную дробь: 31/4=13/4.
Составим уравнение:
a3+(1/a)3=13/4(a+1/a)Введём замену переменной. Пусть t=a+1/a. Тогда t≠0 (так как a≠0).
Выразим сумму кубов через t. Воспользуемся формулой разложения суммы кубов или возведем t в куб:
t3=(a+1/a)3=a3+3a2·1/a+3a·1/a2+1/a3=a3+1/a3+3(a+1/a)Отсюда следует, что:
a3+1/a3=t3-3tПодставим это выражение в исходное уравнение:
t3-3t=13/4tТак как t≠0, можем разделить обе части на t:
t2-3=13/4t2=3+13/4=12/4+13/4=25/4Находим t:
t=±25/4=±5/2Теперь вернёмся к переменной a. У нас два случая:
- a+1/a=5/2
- a+1/a=-5/2
Рассмотрим первый случай:
a+1/a=5/2 Умножим обе части на 2a:2a2+2=5a 2a2-5a+2=0 Дискриминант D=(-5)2-4·2·2=25-16=9.a1,2=5±3/4 a1=8/4=2, a2=2/4=1/2Рассмотрим второй случай:
a+1/a=-5/2 Умножим обе части на 2a:2a2+2=-5a 2a2+5a+2=0 Дискриминант D=52-4·2·2=25-16=9.a3,4=-5±3/4 a3=-2/4=-1/2, a4=-8/4=-2Проверка:
Проверим значение a=2:
Сумма чисел: 2+1/2=2.5.
Сумма кубов: 23+(1/2)3=8+1/8=8.125.
Отношение: 8.125/2.5=3.25=31/4. Верно.
Аналогично проверяются остальные корни из-за симметрии уравнений (a и 1/a играют одинаковую роль, знаки меняются синхронно).
а) 2
б) 1/2
в) -2
г) -1/2
В условии не указано ограничение на знак числа a, поэтому необходимо рассмотреть оба случая для t (положительный и отрицательный). Ключ содержит только положительные корни, но математически отрицательные корни также являются решениями уравнения. В ответе приведены все четыре корня.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 337 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 337?
Краткий ответ: а) 2 б) 12 в) -2 г) -12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.