9 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 332: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Кирилл Панов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 331 333 →

Условие

Найти корни уравнения

а) x² = (7x-4)/(4x-7)

б) x² = (5x-3)/(3x-5).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения уравнений вида x²=ax-b/bx-a сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы знаменатель не обращался в ноль. Затем умножим обе части на знаменатель и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.

а) x²=7x-4/4x-7

ОДЗ: 4x-7≠0⇒x≠7/4=1.75.
Преобразование: Умножаем обе части на (4x-7): x²(4x-7)=7x-4 4x³-7x²-7x+4=0
Решение кубического уравнения: Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: (4x³+4)-(7x²+7x)=0 4(x³+1)-7x(x+1)=0 Используем формулу суммы кубов a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²): 4(x+1)(x²-x+1)-7x(x+1)=0 Вынесем общий множитель (x+1) за скобки: (x+1)[4(x²-x+1)-7x]=0 (x+1)(4x²-4x+4-7x)=0 (x+1)(4x²-11x+4)=0
Корни: 1) x+1=0⇒x₁=-1. Проверка ОДЗ: -1≠1.75, подходит. 2) 4x²-11x+4=0. Найдём дискриминант: D=(-11)²-4·4·4=121-64=57 x_2,3=11±57/8 Проверка ОДЗ: 57≈7.55, тогда x₂≈3.45/8≈0.43, x₃≈18.55/8≈2.32. Ни один корень не равен 1.75, оба подходят.

б) x²=5x-3/3x-5

ОДЗ: 3x-5≠0⇒x≠5/3≈1.67.
Преобразование: Умножаем обе части на (3x-5): x²(3x-5)=5x-3 3x³-5x²-5x+3=0
Решение кубического уравнения: Сгруппируем слагаемые: (3x³+3)-(5x²+5x)=0 3(x³+1)-5x(x+1)=0 Раскроем сумму кубов: 3(x+1)(x²-x+1)-5x(x+1)=0 Вынесем (x+1): (x+1)[3(x²-x+1)-5x]=0 (x+1)(3x²-3x+3-5x)=0 (x+1)(3x²-8x+3)=0
Корни: 1) x+1=0⇒x₁=-1. Проверка ОДЗ: -1≠1.67, подходит. 2) 3x²-8x+3=0. Дискриминант: D=(-8)²-4·3·3=64-36=28 D=28=27 x_2,3=8±27/6=4±7/3 Проверка ОДЗ: 7≈2.65. x₂≈1.35/3=0.45, x₃≈6.65/3≈2.22. Ни один корень не равен 5/3, оба подходят.

Ответ

а) -1; (11-57)/8; (11+57)/8

б) -1; (4-7)/3; (4+7)/3

В обоих случаях получается симметричное кубическое уравнение, которое легко решается методом группировки или подбором корня x=-1. Важно проверить ОДЗ, так как при умножении на выражение с переменной могут появиться посторонние корни (хотя в данном случае их нет).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 332 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 332?

Краткий ответ: а) -1; (11 - √57)8; (11 + √57)8 б) -1; (4 - √7)3; (4 + √7)3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.