ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 328: уравнения

Для решения задачи составим уравнение согласно условию: разность первой пары дробей равна разности второй пары.

1/x+2-1/x+4=1/x+8-1/x+20

План решения:

• Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю и упростим числители.
• Приравняем полученные выражения и решим resulting рациональное уравнение.
• Проверим найденные корни на допустимость (знаменатели не должны обращаться в ноль).

Вычисление:

1. Упростим левую часть уравнения:

(x+4)-(x+2)/(x+2)(x+4)=x+4-x-2/(x+2)(x+4)=2/(x+2)(x+4)

2. Упростим правую часть уравнения:

(x+20)-(x+8)/(x+8)(x+20)=x+20-x-8/(x+8)(x+20)=12/(x+8)(x+20)

3. Приравняем упрощенные части:

2/(x+2)(x+4)=12/(x+8)(x+20)

Разделим обе части на 2 для удобства:

1/(x+2)(x+4)=6/(x+8)(x+20)

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

(x+8)(x+20)=6(x+2)(x+4)

Раскроем скобки:

x²+20x+8x+160=6(x²+4x+2x+8)

x²+28x+160=6(x²+6x+8)

x²+28x+160=6x²+36x+48

Перенесем все слагаемые в одну сторону (вправо), чтобы коэффициент при x² был положительным:

5x²+8x-112=0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D=b²-4ac=8²-4·5·(-112)=64+2240=2304

D=2304=48

Найдем корни:

x₁=-8+48/2·5=40/10=4

x₂=-8-48/2·5=-56/10=-5,6

Проверка:

Область допустимых значений (ОДЗ): x≠-2,x≠-4,x≠-8,x≠-20. Оба найденных корня (4 и -5,6) входят в ОДЗ.

Подставим x=4:

Левая часть: 1/6-1/8=4-3/24=1/24.

Правая часть: 1/12-1/24=2-1/24=1/24.

Равенство верно.

Подставим x=-5,6 (или -28/5):

Это вычисление громоздкое, но так как мы эквивалентно преобразовали уравнение и проверили ОДЗ, корни верны.