ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 324: квадратные уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти сумму корней биквадратных уравнений
а) x4-9x2+18=0
б) x4+3x2-10=0
в) 4x4-12x2+1=0
г) 12y4-y2-1=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения биквадратных уравнений вида ax4+bx2+c=0 используется метод замены переменной. Пусть t=x2, тогда уравнение приводится к квадратному виду at2+bt+c=0. После нахождения корней t1 и t2 необходимо вернуться к исходной переменной x, решив уравнения x2=t1 и x2=t2. Сумма всех действительных корней исходного биквадратного уравнения равна нулю, если все найденные значения t положительны (так как корни идут парами -b±D/2a для x). Если же одно из значений t отрицательно, то соответствующих действительных корней x не существует.
а) x4-9x2+18=0
Сделаем замену t=x2. Получаем квадратное уравнение: t2-9t+18=0.
По теореме Виета сумма корней t1+t2=9, произведение t1·t2=18. Корни: t1=3,t2=6.
Возвращаемся к x: x2=3⇒x1,2=±3; x2=6⇒x3,4=±6.
Все четыре корня действительны. Их сумма: 3+(-3)+6+(-6)=0.
б) x4+3x2-10=0
Замена t=x2. Уравнение: t2+3t-10=0.
Дискриминант D=32-4·1·(-10)=9+40=49. Корни: t1,2=-3±7/2.
t1=4/2=2, t2=-10/2=-5.
Возвращаемся к x: x2=2⇒x1,2=±2. Для x2=-5 действительных корней нет.
Сумма действительных корней: 2+(-2)=0.
в) 4x4-12x2+1=0
Замена t=x2. Уравнение: 4t2-12t+1=0.
Дискриминант D=(-12)2-4·4·1=144-16=128>0. Корни существуют и различны.
Так как произведение свободных членов (c/a=1/4) положительно и сумма коэффициентов при линейном члене с обратным знаком (-b/a=3) положительна, оба корня t1,t2 положительны.
Значит, каждое значение t дает два действительных корня x: ±t1 и ±t2.
Сумма всех четырех корней равна нулю.
г) 12y4-y2-1=0
Замена t=y2. Уравнение: 12t2-t-1=0.
Дискриминант D=(-1)2-4·12·(-1)=1+48=49. Корни: t1,2=1±7/24.
t1=8/24=1/3, t2=-6/24=-1/4.
Возвращаемся к y: y2=1/3⇒y1,2=±1/3. Для y2=-1/4 действительных корней нет.
Сумма действительных корней: 1/3+(-1/3)=0.
а) 0
б) 0
в) 0
г) 0
Во всех пунктах задача сводится к анализу знаков корней приведенного квадратного уравнения относительно подстановки t=x2. Если оба корня t положительны, то получается 4 корня x, симметричных относительно нуля, их сумма 0. Если один корень t положителен, а другой отрицателен, то получается 2 корня x, также симметричных, сумма 0. Отрицательный корень t не дает действительных решений для x.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 324 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 324?
Краткий ответ: а) 0 б) 0 в) 0 г) 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.