ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 322: уравнения

Рассмотрим данные уравнения. Оба они являются полиномиальными уравнениями седьмой степени. Для их решения применим метод группировки слагаемых, так как свободный член и коэффициенты позволяют выделить общие множители.

а) Решим уравнение y⁷-y⁶+y=1.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть: y⁷-y⁶+y-1=0
2. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: (y⁷-y⁶)+(y-1)=0
3. Вынесем общий множитель за скобки в первой группе (y⁶): y⁶(y-1)+1·(y-1)=0
4. Теперь (y-1) является общим множителем для всего выражения. Вынесем его: (y-1)(y⁶+1)=0
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно:
   1) y-1=0⇒y=1.
   2) y⁶+1=0⇒y⁶=-1. Так как любая действительная степень числа (с чётным показателем) неотрицательна, то y⁶≥0, а значит, уравнение y⁶=-1 не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, единственный корень: y=1.

б) Решим уравнение y⁷+y⁶-27y=27.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть: y⁷+y⁶-27y-27=0
2. Сгруппируем слагаемые попарно: (y⁷+y⁶)-(27y+27)=0
3. Вынесем общие множители из каждой группы (y⁶ из первой, 27 из второй): y⁶(y+1)-27(y+1)=0
4. Вынесем общий множитель (y+1) за скобки: (y+1)(y⁶-27)=0
5. Приравняем каждый множитель к нулю:
   1) y+1=0⇒y=-1.
   2) y⁶-27=0⇒y⁶=27.
6. Решим уравнение y⁶=27. Заметим, что 27=3³. Тогда y⁶=3³ Возведём обе части в степень 1/6 (или возьмём корень шестой степени). Поскольку показатель степени чётный, учитываем оба знака: y=±63³=±(3³)^1/6=±3^3/6=±3^1/2=±3

Итак, корни второго множителя: y₂=3, y₃=-3.

Проверка:
Для пункта а): подставим y=1: 1⁷-1⁶+1=1-1+1=1. Верно.
Для пункта б): подставим y=-1: (-1)⁷+(-1)⁶-27(-1)=-1+1+27=27. Верно.
Подставим y=3: (3)⁷+(3)⁶-273=3³3+3³-273=273+27-273=27. Верно.
Аналогично для y=-3: (-3)⁷+(-3)⁶-27(-3)=-273+27+273=27. Верно.