9 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 321: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 320 322 →

Условие

Решить уравнения методом введения новой переменной

а) (x²+6x)²-5(x²+6x)=24

б) (x²-2x-5)²-2(x²-2x-5)=3

в) (x²+3x-25)²-2(x²+3x-25)=-7

г) (y+2)⁴-(y+2)²=12

д) (x^2 + 2x)(x²+2x+2)=3

е) (x^2 - x-16)(x²-x+2)=88

ж) (2x^2 + 7x-8)(2x²+7x-3)-6=0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данном задании требуется решить семь уравнений методом введения новой переменной. Этот метод позволяет свести сложные биквадратные или составные уравнения к более простым квадратным.

а) (x²+6x)²-5(x²+6x)=24

Введем новую переменную t=x²+6x. Уравнение примет вид:

t²-5t-24=0

По теореме Виета корни: t₁=8, t₂=-3.

Вернемся к переменной x:

x²+6x=8⇒x²+6x-8=0. Дискриминант D=36-4(1)(-8)=68. Корни: x_1,2=-6±68/2=-3±17.
x²+6x=-3⇒x²+6x+3=0. Дискриминант D=36-12=24. Корни: x_3,4=-6±24/2=-3±6.

Ответ а): -3-17;-3+17;-3-6;-3+6.

б) (x²-2x-5)²-2(x²-2x-5)=3

Пусть t=x²-2x-5. Получаем:

t²-2t-3=0

Корни: t₁=3, t₂=-1.

x²-2x-5=3⇒x²-2x-8=0. По теореме Виета: x₁=4,x₂=-2.
x²-2x-5=-1⇒x²-2x-4=0. D=4+16=20. x_3,4=2±20/2=1±5.

Ответ б): -2;4;1-5;1+5.

в) (x²+3x-25)²-2(x²+3x-25)=-7

Пусть t=x²+3x-25. Уравнение:

t²-2t+7=0

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно t:

D_t=(-2)²-4·1·7=4-28=-24<0

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней для t не существует, следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ в): нет корней.

г) (y+2)⁴-(y+2)²=12

Заметим, что (y+2)⁴=((y+2)²)². Пусть t=(y+2)², где t≥0. Уравнение:

t²-t-12=0

Корни: t₁=4, t₂=-3. Так как t≥0, отбрасываем t₂.

Решаем (y+2)²=4:

y+2=±2

Отсюда y₁=2-2=0, y₂=-2-2=-4.

Ответ г): -4;0.

д) (x²+2x)(x²+2x+2)=3

Пусть t=x²+2x. Тогда второй множитель равен t+2. Уравнение:

t(t+2)=3⇒t²+2t-3=0

Корни: t₁=1, t₂=-3.

x²+2x=1⇒x²+2x-1=0. D=4+4=8. x_1,2=-2±8/2=-1±2.
x²+2x=-3⇒x²+2x+3=0. D=4-12=-8<0. Нет действительных корней.

Ответ д): -1-2;-1+2.

е) (x²-x-16)(x²-x+2)=88

Заметим разность между скобками: (x²-x+2)-(x²-x-16)=18. Это неудобно для прямой замены вида t(t+k), но можно ввести замену по среднему значению или просто выразить одну через другую. Однако проще заметить структуру. Пусть t=x²-x. Тогда:

(t-16)(t+2)=88 t²-14t-32=88⇒t²-14t-120=0

Дискриминант D=196+480=676=26². Корни:

t_1,2=14±26/2⇒t₁=20,t₂=-6

x²-x=20⇒x²-x-20=0. По теореме Виета: x₁=5,x₂=-4.
x²-x=-6⇒x²-x+6=0. D=1-24<0. Нет корней.

Ответ е): -4;5.

ж) (2x²+7x-8)(2x²+7x-3)-6=0

Пусть t=2x²+7x. Заметим, что разность констант в скобках равна (-3)-(-8)=5. Чтобы сделать симметричную замену, можно взять среднее значение или просто подставить t. Но удобнее заметить, что если положить u=2x²+7x-5.5, то будет сложно с дробями. Давайте просто раскроем через t=2x²+7x:

(t-8)(t-3)=6 t²-11t+24=6⇒t²-11t+18=0

Корни: t₁=2, t₂=9.

2x²+7x=2⇒2x²+7x-2=0. D=49+16=65. x_1,2=-7±65/4.
2x²+7x=9⇒2x²+7x-9=0. Сумма коэффициентов 2+7-9=0, значит один корень x₃=1. Второй корень по теореме Виета x₄=-9/2=-4.5.

Ответ ж): -4.5;1;-7-65/4;-7+65/4.

Ответ

а) -3-17; -3+17; -3-6; -3+6

б) -2; 4; 1-5; 1+5

в) нет корней

г) -4; 0

д) -1-2; -1+2

е) -4; 5

ж) -4.5; 1; (-/7-65); (-/7+65)

Во всех пунктах использован стандартный алгоритм: замена выражения на переменную t, решение полученного квадратного уравнения, обратная замена и проверка дискриминанта. В пункте в) важно отметить отсутствие корней на этапе решения уравнения относительно t. В пункте г) необходимо учитывать ограничение t >= 0. В пункте ж) удобно использовать свойство суммы коэффициентов для быстрого нахождения одного из корней.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 321 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 321?

Краткий ответ: а) -3 - √17; -3 + √17; -3 - √6; -3 + √6 б) -2; 4; 1 - √5; 1 + √5 в) нет корней г) -4; 0 д) -1 - √2; -1 + √2 е) -4; 5 ж) -4.5; 1; (-7 - √65)4; (-7 + √65)4.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.