9 класс уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 317: уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 316 318 →

Условие

Решите уравнение

а) x³-x²-4(x-1)²=0

б) 2y³+2y²-(y+1)²=0

в) 5x³-19x²-38x+40=0

г) 6x³-31x²-31x+6=0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим решение каждого уравнения по отдельности. В задачах а) и б) удобно использовать группировку слагаемых или вынесение общего множителя за скобки. В задачах в) и г) применим метод подбора корней (теорема Безу) и разложение на множители.

а) x³-x²-4(x-1)²=0

Раскроем скобки во втором члене: (x-1)²=x²-2x+1. Уравнение примет вид: x³-x²-4(x²-2x+1)=0.
Упростим выражение: x³-x²-4x²+8x-4=0, то есть x³-5x²+8x-4=0.
Попробуем подобрать целый корень среди делителей свободного члена (-4): ±1,±2,±4.
- При x=1: 1-5+8-4=0. Корень найден.
Разделим многочлен x³-5x²+8x-4 на (x-1) методом столбика или Горнера: (x³-5x²+8x-4):(x-1)=x²-4x+4
Получаем уравнение: (x-1)(x²-4x+4)=0.
Второй множитель является полным квадратом: x²-4x+4=(x-2)².
Итак, (x-1)(x-2)²=0. Отсюда корни: x₁=1, x₂=2 (кратный).

б) 2y³+2y²-(y+1)²=0

Заметим, что первые два слагаемых можно сгруппировать: 2y²(y+1). Раскроем квадрат: (y+1)²=y²+2y+1.
Уравнение: 2y²(y+1)-(y+1)²=0.
Вынесем общий множитель (y+1) за скобки: (y+1)[2y²-(y+1)]=0 (y+1)(2y²-y-1)=0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. y+1=0⇒y₁=-1.
2. 2y²-y-1=0. Решим квадратное уравнение через дискриминант: D=(-1)²-4·2·(-1)=1+8=9 y_2,3=1±9/2·2=1±3/4 y₂=1-3/4=-2/4=-1/2, y₃=1+3/4=1
Корни: -1;-0,5;1.

в) 5x³-19x²-38x+40=0

Свободный член 40, старший коэффициент 5. Возможные рациональные корни вида p/q, где p — делитель 40, q — делитель 5.
Проверим целые делители: ±1,±2,±4,±5...
- x=1: 5-19-38+40=-12≠0.
- x=-1: -5-19+38+40=54≠0.
- x=2: 5(8)-19(4)-38(2)+40=40-76-76+40=-72≠0.
- x=-2: 5(-8)-19(4)-38(-2)+40=-40-76+76+40=0. Корень найден!
Разделим исходный многочлен на (x+2): (5x³-19x²-38x+40):(x+2)=5x²-29x+20 Проверка умножением: (x+2)(5x²-29x+20)=5x³-29x²+20x+10x²-58x+40=5x³-19x²-38x+40. Верно.
Решаем квадратное уравнение 5x²-29x+20=0: D=(-29)²-4·5·20=841-400=441=21² x_2,3=29±21/10 x₂=29-21/10=8/10=0,8 x₃=29+21/10=50/10=5
Корни: -2;0,8;5.

г) 6x³-31x²-31x+6=0

Это возвратное кубическое уравнение (коэффициенты симметричны: 6,-31,-31,6). Для таких уравнений характерен корень x=-1.
Проверим x=-1: 6(-1)-31(1)-31(-1)+6=-6-31+31+6=0. Корень найден.
Разделим на (x+1): (6x³-31x²-31x+6):(x+1)=6x²-37x+6
Решаем квадратное уравнение 6x²-37x+6=0: D=(-37)²-4·6·6=1369-144=1225=35² x_2,3=37±35/12 x₂=37-35/12=2/12=1/6 x₃=37+35/12=72/12=6
Корни: -1;1/6;6.

Ответ

а) 1; 2

б) -1; -0,5; 1

в) -2; 0,8; 5

г) -1; 1/6; 6

В пункте а) важно не забыть раскрыть квадрат перед группировкой или заметить структуру сразу. В пункте б) ключевым шагом является вынесение общего множителя (y+1), так как это упрощает решение до линейного и квадратного уравнений. В пунктах в) и г) использован метод подбора одного корня и последующего деления многочлена на двучлен. В пункте г) стоит отметить свойство возвратных уравнений.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 317 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 317?

Краткий ответ: а) 1; 2 б) -1; -0,5; 1 в) -2; 0,8; 5 г) -1; 16; 6.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.