ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 326: уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Разложить на множители трехчлены
а) x4-20x2+64
б) x4-17x2+16
в) x4-5x2-36
г) x4-3x2-4
д) 9x4-10x2+1
е) 4x4-17x2+4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для разложения данных биквадратных трехчленов на множители будем использовать метод замены переменной. Введем новую переменную t=x2. Тогда исходное выражение вида ax4+bx2+c превращается в обычный квадратный трехчлен at2+bt+c, который можно разложить через его корни или методом группировки.
а) x4-20x2+64
Пусть t=x2. Получаем уравнение t2-20t+64=0.
Найдем дискриминант: D=(-20)2-4·1·64=400-256=144.
Корни: t1,2=20±12/2, то есть t1=16, t2=4.
Разложение по формуле a(t-t1)(t-t2): (t-16)(t-4).
Возвращаемся к x: (x2-16)(x2-4).
Применяем формулу разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b):
x2-16=(x-4)(x+4),
x2-4=(x-2)(x+2).
Итог: (x-4)(x+4)(x-2)(x+2).
б) x4-17x2+16
Пусть t=x2. Уравнение: t2-17t+16=0.
По теореме Виета сумма корней равна 17, произведение — 16. Очевидные корни: t1=1, t2=16.
Разложение: (t-1)(t-16).
Возвращаемся к x: (x2-1)(x2-16).
Раскладываем разность квадратов:
x2-1=(x-1)(x+1),
x2-16=(x-4)(x+4).
Итог: (x-1)(x+1)(x-4)(x+4).
в) x4-5x2-36
Пусть t=x2. Уравнение: t2-5t-36=0.
Дискриминант: D=(-5)2-4·1·(-36)=25+144=169.
Корни: t1,2=5±13/2.
t1=18/2=9, t2=-8/2=-4.
Разложение: (t-9)(t+4).
Возвращаемся к x: (x2-9)(x2+4).
Первый множитель раскладывается как разность квадратов: x2-9=(x-3)(x+3).
Второй множитель x2+4 не имеет действительных корней и над полем действительных чисел не разлагается.
Итог: (x-3)(x+3)(x2+4).
г) x4-3x2-4
Пусть t=x2. Уравнение: t2-3t-4=0.
По теореме Виета: сумма корней 3, произведение -4. Корни: t1=4, t2=-1.
Разложение: (t-4)(t+1).
Возвращаемся к x: (x2-4)(x2+1).
Раскладываем разность квадратов: x2-4=(x-2)(x+2).
Множитель x2+1 не разлагается над действительными числами.
Итог: (x-2)(x+2)(x2+1).
д) 9x4-10x2+1
Пусть t=x2. Уравнение: 9t2-10t+1=0.
Дискриминант: D=(-10)2-4·9·1=100-36=64.
Корни: t1,2=10±8/18.
t1=18/18=1, t2=2/18=1/9.
Разложение квадратного трехчлена a(t-t1)(t-t2): 9(t-1)(t-1/9).
Умножим константу 9 на второй множитель для удобства: 9(t-1)(t-1/9)=(t-1)(9t-1).
Возвращаемся к x: (x2-1)(9x2-1).
Оба множителя — разности квадратов:
x2-1=(x-1)(x+1),
9x2-1=(3x)2-12=(3x-1)(3x+1).
Итог: (x-1)(x+1)(3x-1)(3x+1).
е) 4x4-17x2+4
Пусть t=x2. Уравнение: 4t2-17t+4=0.
Дискриминант: D=(-17)2-4·4·4=289-64=225.
Корни: t1,2=17±15/8.
t1=32/8=4, t2=2/8=1/4.
Разложение: 4(t-4)(t-1/4).
Преобразуем: 4(t-4)(t-1/4)=(t-4)(4t-1).
Возвращаемся к x: (x2-4)(4x2-1).
Раскладываем разности квадратов:
x2-4=(x-2)(x+2),
4x2-1=(2x)2-12=(2x-1)(2x+1).
Итог: (x-2)(x+2)(2x-1)(2x+1).
а) (x-4)(x+4)(x-2)(x+2)
б) (x-1)(x+1)(x-4)(x+4)
в) (x-3)(x+3)(x2+4)
г) (x-2)(x+2)(x2+1)
д) (x-1)(x+1)(3x-1)(3x+1)
е) (x-2)(x+2)(2x-1)(2x+1)
Во всех пунктах использована замена переменной t=x^2. Для пунктов в) и г) один из множителей (x^2+a при a>0) не разлагается над множеством действительных чисел, поэтому оставляется в виде квадратного трехчлена. В пунктах д) и е) коэффициент при старшей степени не равен 1, что требует аккуратного обращения с вынесением коэффициента при разложении.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 326 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 326?
Краткий ответ: а) (x-4)(x+4)(x-2)(x+2) б) (x-1)(x+1)(x-4)(x+4) в) (x-3)(x+3)(x^2+4) г) (x-2)(x+2)(x^2+1) д) (x-1)(x+1)(3x-1)(3x+1) е) (x-2)(x+2)(2x-1)(2x+1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.