ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 345: квадратные уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Задача-исследование. При каких значениях k биквадратное уравнение x4-13x2+k=0
а) имеет четыре корня
б) имеет два корня
в) не имеет корней? 1) Обозначьте x2 через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней. 2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют. 3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Данное уравнение x4-13x2+k=0 является биквадратным. Для его исследования выполним замену переменной: пусть y=x2. Тогда исходное уравнение сведётся к квадратному относительно y: y2-13y+k=0. Число корней исходного уравнения зависит от количества и знаков корней этого квадратного уравнения. Так как y=x2, то для каждого положительного корня y1>0 существуют два различных действительных корня x=±y1. Если корень y2=0, то он даёт один корень x=0. Если корень отрицательный (y<0), то соответствующих действительных корней x нет.
Вычисление.
Найдём дискриминант полученного квадратного уравнения:
D=(-13)2-4·1·k=169-4k.Рассмотрим случаи в зависимости от значения дискриминанта и коэффициентов по теореме Виета (y1+y2=13, y1·y2=k).
- Случай а): уравнение имеет четыре корня. Для этого необходимо, чтобы квадратное уравнение имело два различных положительных корня. Это выполняется при условиях:
- D>0⇒169-4k>0⇒4k<169⇒k<42,25;
- произведение корней положительно: y1y2=k>0;
- сумма корней положительна: y1+y2=13>0 (выполняется всегда).
- Случай б): уравнение имеет два корня. Это возможно в двух ситуациях:
- Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), который положителен. При D=0 имеем k=42,25. Корень y=13/2=6,5>0. Тогда x=±6,5 — два корня.
- Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них положителен (второй отрицательный или равен нулю). По теореме Виета произведение корней k должно быть меньше нуля (k<0). Если k<0, то D=169-4k>169>0, корни существуют и имеют разные знаки. Отрицательный корень не даёт решений для x, положительный даёт два решения x=±y+. Итого два корня.
- Случай в): уравнение не имеет корней. Это происходит, если квадратное уравнение не имеет действительных корней или все его корни неположительны.
- Если D<0, то есть 169-4k<0⇒k>42,25, то корней y нет, следовательно, нет и корней x.
- Если D≥0, но оба корня y отрицательны или равны нулю? Сумма корней y1+y2=13 положительна, поэтому оба корня не могут быть отрицательными. Может ли один быть нулём? Если k=0, то y(y-13)=0, корни 0 и 13. y=0⇒x=0, y=13⇒x=±13. Всего 3 корня. Значит, случай отсутствия корней реализуется только при D<0.
Проверка.
Возьмём контрольные значения:
| Значение k | Уравнение для y | Корни y | Корни x | Число корней |
|---|---|---|---|---|
| k=12 (в интервале 0<k<42,25) | y2-13y+12=0 | y1=1,y2=12 (оба >0) | ±1,±12 | 4 |
| k=42,25 | y2-13y+42,25=0 | y=6,5 (один >0) | ±6,5 | 2 |
| k=-1 (меньше 0) | y2-13y-1=0 | y1>0,y2<0 | Только от y1: ±y1 | 2 |
| k=50 (больше 42,25) | y2-13y+50=0 | D=169-200<0, нет корней | Нет | 0 |
Результаты проверки совпадают с выводами.
а) При 042,25
Задача требует анализа биквадратного уравнения через замену переменной. Ключевой момент — связь между знаками корней вспомогательного уравнения y2-13y+k=0 и количеством корней исходного уравнения. Поскольку сумма корней y фиксирована и положительна (13), невозможно получить ситуацию, когда оба корня y отрицательны. Поэтому отсутствие корней у x возможно только при отсутствии действительных корней у y (D<0). Наличие двух корней у x возможно либо при одном положительном корне y (D=0), либо при двух корнях y разных знаков (k<0).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 345 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 345?
Краткий ответ: а) При 0 42,25.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.