9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 428: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Татьяна Белова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 427 429 →

Условие

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а гипотенуза — 10 см. Вычислите длины катетов.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим длины катетов прямоугольного треугольника через a и b. Нам известны два факта: площадь треугольника равна 24 см², а гипотенуза равна 10 см. Используем эти данные для составления системы уравнений.

План решения:

Запишем формулу площади прямоугольного треугольника: S=1/2ab.
Запишем теорему Пифагора для данного треугольника: a²+b²=c², где c — гипотенуза.
Подставим известные значения и решим полученную систему относительно a и b.

Вычисление:

Из условия площади имеем:

1/2ab=24impliesab=48

Из условия гипотенузы (c=10) по теореме Пифагора имеем:

a²+b²=10²=100

Теперь у нас есть система:

{a²+b²=100ab=48

Воспользуемся тождеством (a+b)²=a²+b²+2ab. Подставим известные значения:

(a+b)²=100+2·48=100+96=196

Так как a и b — длины сторон, они положительны, значит:

a+b=196=14

Теперь мы знаем сумму и произведение двух чисел a и b: a+b=14 и ab=48. Эти числа являются корнями квадратного уравнения вида x²-(a+b)x+ab=0:

x²-14x+48=0

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета или через дискриминант:

D=(-14)²-4·1·48=196-192=4 x_1,2=14±4/2=14±2/2 x₁=14+2/2=8, x₂=14-2/2=6

Таким образом, катеты равны 8 см и 6 см.

Проверка:

Площадь: 1/2·8·6=24 см². Верно.
Гипотенуза: 8²+6²=64+36=100=10 см. Верно.

Ответ

Катеты равны 8 см и 6 см.

Решение сводится к системе уравнений, связывающей произведение катетов (через площадь) и сумму их квадратов (через теорему Пифагора). Использование формулы сокращенного умножения позволяет найти сумму катетов, после чего задача сводится к нахождению корней приведенного квадратного уравнения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 428 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 428?

Краткий ответ: Катеты равны 8 см и 6 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.