ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 430: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Один комбайн убирает урожай пшеницы с участка на 4 ч быстрее другого. Совместно они заканчивают работу через 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайну для самостоятельной уборки урожая?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем переменные и составим уравнение на основе производительности труда.
1. Обозначения и выражение производительности
Пусть x ч — время, которое требуется первому (более быстрому) комбайну для самостоятельной уборки урожая. Тогда (x+4) ч — время, которое требуется второму (более медленному) комбайну.
Примем весь объем работы за единицу (1). Производительность первого комбайна равна 1/x части участка в час. Производительность второго комбайна равна 1/x+4 части участка в час.
2. Составление уравнения
Известно, что работая совместно, они заканчивают работу через 35 ч. Значит, сумма их производительностей равна 1/35. Составим уравнение:
1/x+1/x+4=1/353. Решение уравнения
Приведем левую часть к общему знаменателю x(x+4):
x+4+x/x(x+4)=1/35 2x+4/x2+4x=1/35Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
35(2x+4)=x2+4x 70x+140=x2+4xПеренесем все члены в правую часть и получим квадратное уравнение:
x2-66x-140=0Найдем дискриминант:
D=(-66)2-4·1·(-140)=4356+560=4916Корни уравнения:
x1,2=66±4916/2Заметим, что 4916≈70.11. Это не дает целого числа. Давайте перепроверим условие задачи и ключ. В классических задачах такого типа часто подразумевается, что ответ является целым числом. Проверим вычисления с ключом: если первый комбайн работает 60 часов, то второй — 64 часа? Нет, по условию разница 4 часа. Если первый 60, то второй 64. Совместная работа: 1/60+1/64=(16+15)/960=31/960≠1/35.
Давайте проверим другой вариант из ключа: 84 и 60? Разница 24 часа. Не подходит под условие "на 4 часа быстрее".
Возможно, в условии опечатка или я неверно интерпретировал "на 4 ч быстрее". Обычно это значит t2=t1+4.
Попробуем решить строго математически полученное уравнение x2-66x-140=0.
x1=66+4916/2≈66+70.11/2≈68.05 ч. x2=66-4916/2<0 (не удовлетворяет смыслу задачи).
Однако, давайте внимательно посмотрим на ключ: 60 и 84 ч . Разница между ними 84-60=24 часа. В условии сказано "на 4 ч быстрее". Здесь явное противоречие между текстом условия и стандартным ответом учебника для номера 430 (часто в разных изданиях условия меняются).
Если предположить, что в условии ошибка и разница составляет 24 часа, то:
1/x+1/x+24=1/35 2x+24/x(x+24)=1/35 35(2x+24)=x2+24x 70x+840=x2+24x x2-46x-840=0 D=462+4·840=2116+3360=5476=742 x1=46+74/2=60, x2=46-74/2<0При таком допущении первый комбайн работает 60 ч, второй — 60+24=84 ч. Это совпадает с ключом.
Но мы обязаны решать строго по данному условию.
Вернемся к исходному уравнению x2-66x-140=0. Ответы не являются целыми числами. В школьной практике алгебры 9 класса такие задачи обычно имеют красивые целые ответы. Скорее всего, в тексте условия, который вы предоставили, есть неточность относительно разницы во времени (возможно, должно быть "на 24 часа", либо совместная работа занимает другое время).
Тем не менее, следуя инструкции "считай строго по нему... если числа в условии дают другой результат, пиши свой", я приведу точный расчет для условия "разница 4 часа".
Решение уравнения x2-66x-140=0:
x=66+4916/2=33+1229≈68.06 ч y=x+4≈72.06 чПроверка: 1/68.06+1/72.06≈0.01469+0.01387=0.02856≈1/35. Верно.
Примечание: Ключ 60 и 84 соответствует задаче, где разница во времени 24 часа. Для данного условия (разница 4 часа) ответ иррациональный.
а) Первый комбайн: 33+1229≈68.1 ч
б) Второй комбайн: 37+1229≈72.1 ч
Строгое решение по тексту условия приводит к иррациональным корням. Ключ ответа (60 и 84) соответствует измененному условию (разница 24 часа), но согласно правилам, дан ответ по фактическому тексту.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 430 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 430?
Краткий ответ: а) Первый комбайн: 33 + √1229 68.1 ч б) Второй комбайн: 37 + √1229 72.1 ч.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.