9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 429: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 428 430 →

Условие

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим катеты прямоугольного треугольника через x и y. По условию гипотенуза равна 13 см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

x²+y²=13²=169

Во втором случае один из катетов (пусть это будет x) увеличивается на 4 см, то есть становится равен x+4, а гипотенуза увеличивается на 2 см, становясь равной 13+2=15 см. Второй катет y при этом не меняется. Запишем уравнение для нового треугольника:

(x+4)²+y²=15²=225

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Выразим y² из первого уравнения: y²=169-x². Подставим это выражение во второе уравнение:

(x+4)²+(169-x²)=225

Раскроем скобки и упростим полученное линейное уравнение относительно x:

x²+8x+16+169-x²=225 8x+185=225 8x=225-185 8x=40 x=5

Найдём второй катет y, подставив значение x=5 в первое уравнение:

5²+y²=169 25+y²=169 y²=144 y=12 (Так как длина стороны положительна, берём только положительный корень).

Проверка:

Исходный треугольник: катеты 5 и 12, гипотенуза 5²+12²=25+144=169=13. Верно.
Изменённый треугольник: катет 5+4=9, другой катет 12, новая гипотенуза должна быть 13+2=15. Проверим по Пифагору: 9²+12²=81+144=225=15. Верно.

Ответ

Катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Задача сводится к решению системы уравнений, где одно уравнение описывает исходный треугольник, а другое — изменённый. Метод подстановки позволяет исключить квадратичную переменную y² и получить простое линейное уравнение для x.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 429 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 429?

Краткий ответ: Катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.