ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 433: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Два экскаватора, работая одновременно, выполняют объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, выполняет этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введём переменные, обозначающие время работы каждого экскаватора по отдельности. Пусть x — время (в часах), за которое первый экскаватор выполняет весь объём работ, а y — время второго экскаватора.
Из условия известно, что один экскаватор работает на 4 часа быстрее другого. Предположим, что первый экскаватор быстрее, тогда связь между ними можно записать как y=x+4. Также дано совместное время работы: 3 ч 45 мин. Переведём это значение в часы для удобства вычислений: 3 ч 45 мин =3+45/60=3,75=15/4 часа.
Производительность труда обратно пропорциональна времени выполнения работы. Если первый экскаватор делает работу за x часов, то его производительность равна 1/x части работы в час. Аналогично, производительность второго экскаватора равна 1/y=1/x+4. При совместной работе их производительности складываются и дают общую производительность, обратную общему времени: 1/x+1/x+4=1/15/4=4/15.
Решим полученное уравнение относительно x:
1/x+1/x+4=4/15Приведём левую часть к общему знаменателю:
x+4+x/x(x+4)=4/15 2x+4/x2+4x=4/15Используем свойство пропорции (перекрёстное умножение):
15(2x+4)=4(x2+4x) 30x+60=4x2+16xПеренесём все члены в одну сторону и приведём подобные слагаемые:
4x2+16x-30x-60=0 4x2-14x-60=0Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:
2x2-7x-30=0Найдём дискриминант квадратного уравнения:
D=(-7)2-4·2·(-30)=49+240=289 D=17Корни уравнения:
x1=7+17/4=24/4=6 x2=7-17/4=-10/4=-2,5Так как время не может быть отрицательным, отбрасываем корень x2. Таким образом, x=6 часов. Это время работы первого (более быстрого) экскаватора.
Время работы второго экскаватора: y=x+4=6+4=10 часов.
Проверка:
- Производительность первого: 1/6.
- Производительность второго: 1/10.
- Совместная производительность: 1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/15.
- Общее время: 1/4/15=15/4=3,75 часа, что соответствует 3 ч 45 мин.
а) Первый экскаватор: 6 ч
б) Второй экскаватор: 10 ч
Задача сводится к решению рационального уравнения, приводящегося к квадратному. Важно правильно перевести минуты в часы (3 ч 45 мин = 3,75 ч или 15/4 ч). Ключевой момент — составление уравнения через суммы производительностей (1/t1+1/t2=1/t}общ).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 433 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 433?
Краткий ответ: а) Первый экскаватор: 6 ч б) Второй экскаватор: 10 ч.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.