9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 425: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 424 427 →

Условие

Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим скорости отрядов через переменные. Пусть v₁ — скорость первого отряда (на север), а v₂ — скорость второго отряда (на восток).
Выразим пройденные пути за 4 часа: S₁=4v₁, S₂=4v₂.
Составим систему уравнений на основе условия задачи и теоремы Пифагора, так как направления «север» и «восток» образуют прямой угол.

Вычисление:

Известно, что первый отряд прошёл на 4,8 км больше второго. Запишем это равенство для путей:

S₁-S₂=4,8 4v₁-4v₂=4,8 Разделим обе части на 4, чтобы упростить выражение связи между скоростями: v₁-v₂=1,2 ⇒ v₁=v₂+1,2

Расстояние между отрядами через 4 часа равно 24 км. Поскольку они шли под прямым углом друг к другу, их пути являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние между ними — гипотенузой. По теореме Пифагора:

S21+S22=24² Подставим выражения путей через скорости (S₁=4v₁, S₂=4v₂): (4v₁)²+(4v₂)²=576 16v21+16v22=576 Разделим всё уравнение на 16: v21+v22=36

Теперь подставим выражение v₁=v₂+1,2 в полученное квадратное уравнение:

(v₂+1,2)²+v22=36 Раскроем скобки по формуле квадрата суммы (a+b)²=a²+2ab+b²: v22+2·1,2·v₂+1,2²+v22=36 v22+2,4v₂+1,44+v22=36 Приведём подобные слагаемые и перенесём 36 в левую часть: 2v22+2,4v₂+1,44-36=0 2v22+2,4v₂-34,56=0 Для удобства умножим всё уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, или просто разделим на 2: v22+1,2v₂-17,28=0 Найдём дискриминант: D=1,2²-4·1·(-17,28)=1,44+69,12=70,56 Корень из дискриминанта: 70,56=8,4. Найдём корни уравнения: v_2,1=-1,2±8,4/2 Первый корень: v_2,1=-1,2+8,4/2=7,2/2=3,6 Второй корень: v_2,2=-1,2-8,4/2=-9,6/2=-4,8 Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень. Значит, скорость второго отряда v₂=3,6 км/ч.

Найдём скорость первого отряда: v₁=v₂+1,2=3,6+1,2=4,8 км/ч

Проверка:

1. Разница в путях за 4 часа: S₁=4·4,8=19,2 км. S₂=4·3,6=14,4 км. 19,2-14,4=4,8 км. Условие выполнено.

2. Расстояние между отрядами (теорема Пифагора): 19,2²+14,4²=368,64+207,36=576=24 км. Условие выполнено.

Ответ

а) Скорость первого отряда: 4,8 км/ч

б) Скорость второго отряда: 3,6 км/ч

Задача сводится к системе уравнений, где одно уравнение линейное (разность путей), а второе квадратичное (теорема Пифагора). Важно правильно выразить пути через скорости и время.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 425 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 425?

Краткий ответ: а) Скорость первого отряда: 4,8 км/ч б) Скорость второго отряда: 3,6 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.