ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 427: Уравнения с двумя переменными и их системы

Для решения задачи введем переменные. Пусть a и b — стороны прямоугольника (в см). Тогда площадь квадратов, построенных на этих сторонах, равна a² и b² соответственно.

Составим систему уравнений на основе условия:

1. Сумма площадей квадратов равна 122 см²: a²+b²=122
2. Площадь прямоугольника составляет 30 см²: ab=30

Выразим одно из неизвестных через другое из второго уравнения. Например, b=30/a. Подставим это выражение в первое уравнение:

Умножим обе части уравнения на a² (при условии a≠0), чтобы избавиться от знаменателя:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть x=a², где x>0. Получаем квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

Корни уравнения для x:

Вернемся к переменной a. Так как a²=x, то:

• Если a²=114, то a=114 (не является целым числом, но проверим вторую пару).
• Если a²=8, то a=8=22.

Однако давайте перепроверим вычисления или посмотрим на симметрию системы. Часто в таких задачах стороны являются целыми числами. Проверим ключевые значения 5 и 6.

Если a=5 и b=6:

• a²+b²=25+36=61≠122. Здесь есть расхождение с условием "сумма площадей".

Перечитаем условие внимательно: "На сторонах прямоугольника построены квадраты, сумма площадей которых равна 122 см²". Это действительно a²+b²=122. И площадь ab=30.

Давайте решим систему другим способом, используя формулу сокращенного умножения (a+b)²=a²+b²+2ab.

Тогда стороны равны:

Эти числа не являются целыми (≈7.5 и ≈4). Однако в школьных задачах такого типа часто подразумевается, что сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях или имеется опечатка в условии учебника относительно чисел. Но мы обязаны решать строго по тексту.

Проверим вариант, если бы сумма площадей была 61 (что соответствует ответу 5 и 6): 25+36=61. В условии сказано 122. Возможно, имелось в виду, что сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях ? Нет, обычно строят на сторонах.

Давайте еще раз проверим арифметику биквадратного уравнения. Может быть, я ошибся в дискриминанте?

Важное замечание: В типовых задачах этого номера (например, в сборнике Мордковича) часто встречается условие: "Сумма площадей квадратов... равна 61 см²" при площади 30 см². Ответ тогда 5 и 6. Если же сумма 122, то ответ иррациональный. Поскольку ключ указывает на 5 и 6, вероятнее всего, в условии задачи опечатка (число 122 должно быть 61, либо площадь прямоугольника другая). Но согласно инструкции "считай строго по нему", мы получаем иррациональные корни. Однако, учитывая контекст "ключ ориентир", и то, что 122=2×61, возможно, речь шла о сумме площадей двух пар квадратов? Нет. Давайте предположим, что в условии ошибка и нужно получить ответ 5 и 6. Для ответа 5 и 6 сумма квадратов должна быть 5²+6²=61. Число 122 вдвое больше. Возможно, в условии имелось в виду, что сумма площадей квадратов, построенных на сторонах, равна 61? Или площадь прямоугольника 60? Если ab=60 и a²+b²=122, то (a+b)²=122+120=242, тоже некрасиво. Если мы будем решать строго по тексту с числами 122 и 30, ответ будет: a=182+62/2, b=182-62/2. Но так как это школьная задача 9 класса, и дан ключ 5 и 6, наиболее вероятно, что в исходном источнике было число 61. Я приведу решение для случая, когда данные согласуются с ключом, отметив несоответствие, или просто дам точное математическое решение по тексту. Инструкция говорит: "если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Значит, я должен дать точный ответ по тексту.

Решение по тексту:

Система: {a²+b²=122ab=30 Из первого уравнения выразим b²=122-a². Возведем второе в квадрат: a²b²=900. Подставим b²: a²(122-a²)=900⇒122a²-a⁴=900⇒a⁴-122a²+900=0. Корни a21,2=122±11284/2=61±2821. Так как 2821≈53.1, то a21≈114.1, a22≈7.9. Стороны: a=61+2821, b=61-2821 Проверка: a²+b²=122. ab=(61+2821)(61-2821)=61²-2821=3721-2821=900=30. Все верно.