9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 422: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 421 423 →

Условие

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Прямоугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника через a и b. Нам известны два факта: длина диагонали и периметр. Используем эти данные для составления системы уравнений.

1. Составление системы уравнений

По формуле периметра прямоугольника: 2(a+b)=28. Отсюда следует, что сумма сторон равна a+b=14.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю: a²+b²=10², то есть a²+b²=100.

Таким образом, мы имеем систему:

{na+b=14a²+b²=100

2. Решение системы

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения: b=14-a. Подставим это выражение во второе уравнение:

a²+(14-a)²=100

Раскроем скобки по формуле квадрата разности (x-y)²=x²-2xy+y²:

a²+196-28a+a²=100

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

2a²-28a+96=0

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

a²-14a+48=0

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна 14, а произведение — 48. Подходящие числа: 6 и 8. Или через дискриминант:

D=(-14)²-4·1·48=196-192=4 a_1,2=14±2/2 a₁=8, a₂=6

Если a=8, то b=14-8=6. Если a=6, то b=14-6=8. В обоих случаях стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

3. Проверка

Периметр: 2(6+8)=2·14=28 см. Верно.
Диагональ: 6²+8²=36+64=100=10 см. Верно.

Ответ

Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Задача сводится к решению системы нелинейных уравнений. Ключевой момент — переход от суммы квадратов к сумме чисел или использование подстановки. Ответ совпадает с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 422 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 422?

Краткий ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.