ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 59: Приложения математики в реальной жизни

Рассмотрим упрощение алгебраических выражений. Наша цель — привести каждое слагаемое к общему знаменателю или сократить дроби так, чтобы получить максимально простой результат. Будем действовать последовательно, выполняя действия в скобках первыми.

а) Упрощение первого выражения

Дано выражение: (2ab/a²-b²+a-b/2a+2b)·2a/a+b+b/b-a

1. Разложим знаменатели на множители:
• a²-b²=(a-b)(a+b);
• 2a+2b=2(a+b).
2. Подставим разложения в первую скобку и найдем общий знаменатель для сложения дробей внутри неё. Общий знаменатель будет 2(a-b)(a+b).
3. Приведем дроби к общему знаменателю: 2ab·2/2(a-b)(a+b)+(a-b)(a-b)/2(a-b)(a+b)=4ab+(a-b)²/2(a-b)(a+b) Раскроем квадрат в числителе: (a-b)²=a²-2ab+b². Числитель станет: 4ab+a²-2ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)². Таким образом, первая скобка равна: (a+b)²/2(a-b)(a+b)=a+b/2(a-b)
4. Теперь умножим полученный результат на вторую дробь 2a/a+b: a+b/2(a-b)·2a/a+b=2a(a+b)/2(a-b)(a+b)=a/a-b
5. Осталось прибавить последнее слагаемое b/b-a. Заметим, что b-a=-(a-b), поэтому b/b-a=-b/a-b. Складываем полученные части: a/a-b-b/a-b=a-b/a-b=1

б) Упрощение второго выражения

Дано выражение: y/x-y-x³-xy²/x²+y²·(x/(x-y)²-y/x²-y²)

1. Упростим множитель перед скобкой. В числителе вынесем x за скобки: x³-xy²=x(x²-y²)=x(x-y)(x+y). Знаменатель x²+y² не раскладывается над действительными числами. Множитель равен: x(x-y)(x+y)/x²+y²
2. Упростим выражение в скобках. Найдем общий знаменатель для дробей внутри скобок. Знаменатели: (x-y)² и x²-y²=(x-y)(x+y). Общий знаменатель: (x-y)²(x+y). Приведем дроби: x(x+y)/(x-y)²(x+y)-y(x-y)/(x-y)²(x+y)=x²+xy-(xy-y²)/(x-y)²(x+y)=x²+xy-xy+y²/(x-y)²(x+y)=x²+y²/(x-y)²(x+y)
3. Выполним умножение упрощенного множителя на упрощенную скобку: x(x-y)(x+y)/x²+y²·x²+y²/(x-y)²(x+y) Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: - x²+y² сокращается; - (x+y) сокращается; - одна (x-y) из знаменателя сокращается с (x-y) в числителе. Остается: x/x-y
4. Возвращаемся к исходному выражению, где нужно вычесть этот результат из первой дроби: y/x-y-x/x-y=y-x/x-y Заметим, что y-x=-(x-y). Тогда: -(x-y)/x-y=-1

Проверка

Для пункта а) подставим простые числа, например a=2,b=1. Исходное выражение: (4/3+1/6)·4/3+1/-1=(8+1/6)·4/3-1=9/6·4/3-1=3/2·4/3-1=2-1=1. Результат совпадает.

Для пункта б) подставим x=2,y=1. Исходное выражение: 1/1-8-2/5·(2/1-1/3)=1-6/5·(6-1/3)=1-6/5·5/3=1-2=-1. Результат совпадает.