ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 690: Упражнения для повторения курса 7–9 классов
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать равенства
а) \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = 10-3
б) \sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4-7.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства равенств вида A=B необходимо проверить два условия: во-первых, правая часть должна быть неотрицательной (B≥0), так как арифметический квадратный корень всегда неположителен; во-вторых, при возведении правой части в квадрат должно получаться выражение под знаком корня (B2=A).
а) Докажем равенство 19-610=10-3.
- Проверим знак правой части. Так как 10>9=3, то разность 10-3 положительна. Условие выполнено.
- Возведём правую часть в квадрат и упростим выражение: (10-3)2=(10)2-2·10·3+32 =10-610+9 =19-610
- Полученное значение совпадает с подкоренным выражением левой части. Следовательно, равенство верно.
б) Докажем равенство 23-87=4-7.
- Проверим знак правой части. Так как 7<16=4, то разность 4-7 положительна. Условие выполнено.
- Возведём правую часть в квадрат и упростим выражение: (4-7)2=42-2·4·7+(7)2 =16-87+7 =23-87
- Полученное значение совпадает с подкоренным выражением левой части. Следовательно, равенство верно.
а) Верно, так как (10-3)2=19-610 и 10>3
б) Верно, так как (4-7)2=23-87 и 4>7
Решение основано на определении арифметического квадратного корня. Для каждого пункта сначала проверяется неотрицательность правой части (это критически важно, иначе равенство было бы неверным из-за знака модуля при раскрытии x2=|x|), затем выполняется алгебраическое преобразование по формуле квадрата разности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 690 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 690?
Краткий ответ: а) Верно, так как (√10-3)^2 = 19-6√10 и √10>3 б) Верно, так как (4-√7)^2 = 23-8√7 и 4>√7.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7–9 классов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.