ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 707: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

В данном задании требуется упростить рациональные выражения. Основной алгоритм действий: разложение знаменателей на множители, приведение к общему знаменателю, выполнение операций с числителями и сокращение полученной дроби.

а) 2/x²-3x-1/x²+3x-x+1/x²-9

1. Разложим знаменатели на множители: x²-3x=x(x-3) x²+3x=x(x+3) x²-9=(x-3)(x+3)
2. Найдем общий знаменатель: x(x-3)(x+3). Дополнительные множители: для первой дроби (x+3), для второй (x-3), для третьей x.
3. Приведем к общему знаменателю и объединим числители: 2(x+3)-1(x-3)-x(x+1)/x(x-3)(x+3) Раскроем скобки в числителе: 2x+6-x+3-x²-x=-x²+9 Заметим, что -x²+9=-(x²-9)=-(x-3)(x+3).
4. Сократим дробь: -(x-3)(x+3)/x(x-3)(x+3)=-1/x

б) 2y+1/y²+3y+y+2/3y-y²-1/y

1. Разложим знаменатели: y²+3y=y(y+3) 3y-y²=y(3-y)=-y(y-3) Третий знаменатель просто y.
2. Общий знаменатель можно выбрать как y(y+3)(y-3) или проще y(3-y)(3+y). Удобнее использовать y(3-y)(3+y), так как во втором слагаемом уже есть (3-y). Но давайте приведем все к стандартному виду через разность квадратов 9-y². Перепишем второе слагаемое: y+2/y(3-y)=-y+2/y(y-3). Это усложняет. Попробуем общий знаменатель y(3-y)(3+y)=y(9-y²). Для первого слагаемого доп. множитель (3-y). Для второго слагаемого доп. множитель (3+y). Для третьего слагаемого доп. множитель (9-y²).
3. Запишем сумму: (2y+1)(3-y)+(y+2)(3+y)-1(9-y²)/y(9-y²) Раскроем скобки в числителе: (2y+1)(3-y)=6y-2y²+3-y=-2y²+5y+3 (y+2)(3+y)=3y+y²+6+2y=y²+5y+6 -1(9-y²)=-9+y² Сумма числителей: (-2y²+5y+3)+(y²+5y+6)+(-9+y²)=(-2+1+1)y²+(5+5)y+(3+6-9)=0y²+10y+0=10y.
4. Получаем: 10y/y(9-y²)=10/9-y²

в) a²+16a+12/a³-8-2-3a/a²+2a+4-3/a-2

1. Разложим знаменатели. Используем формулу разности кубов a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²): a³-8=(a-2)(a²+2a+4) Второй знаменатель a²+2a+4 уже прост. Третий знаменатель a-2. Общий знаменатель: (a-2)(a²+2a+4).
2. Дополнительные множители: Для первой дроби: 1. Для второй дроби: (a-2). Для третьей дроби: (a²+2a+4).
3. Запишем числитель общей дроби: (a²+16a+12)-(2-3a)(a-2)-3(a²+2a+4) Раскроем скобки: (2-3a)(a-2)=2a-4-3a²+6a=-3a²+8a-4 3(a²+2a+4)=3a²+6a+12 Подставим обратно с учетом знаков минус перед вторым и третьим слагаемыми: a²+16a+12-(-3a²+8a-4)-(3a²+6a+12) =a²+16a+12+3a²-8a+4-3a²-6a-12 Группируем подобные: a²+3a²-3a²=a² 16a-8a-6a=2a 12+4-12=4 Итого числитель: a²+2a+4.
4. Сокращаем: a²+2a+4/(a-2)(a²+2a+4)=1/a-2

г) 2/4b²-6b+9+4b²+18/8b³+27-1/2b+3

1. Разложим знаменатели. Используем формулу суммы кубов a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²): 8b³+27=(2b)³+3³=(2b+3)(4b²-6b+9) Первый знаменатель 4b²-6b+9 совпадает со вторым множителем. Третий знаменатель 2b+3 совпадает с первым множителем. Общий знаменатель: (2b+3)(4b²-6b+9).
2. Дополнительные множители: Для первой дроби: (2b+3). Для второй дроби: 1. Для третьей дроби: (4b²-6b+9).
3. Запишем числитель: 2(2b+3)+(4b²+18)-1(4b²-6b+9) Раскроем скобки: 4b+6+4b²+18-4b²+6b-9 Группируем: 4b²-4b²=0 4b+6b=10b 6+18-9=15 Итого числитель: 10b+15=5(2b+3).
4. Сокращаем: 5(2b+3)/(2b+3)(4b²-6b+9)=5/4b²-6b+9