ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 709: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Для упрощения частных алгебраических дробей воспользуемся правилом: деление дроби на дробь заменяется умножением первой дроби на вторую, перевернутую (обратную). Перед выполнением действий необходимо разложить числители и знаменатели на множители.

а) x²-4x/x²+7x:24-6x/49-x²

1. Разложим выражения на множители:
   • x²-4x=x(x-4)
   • x²+7x=x(x+7)
   • 24-6x=-6(x-4)
   • 49-x²=(7-x)(7+x)=-(x-7)(x+7)
2. Запишем пример в виде произведения:
x(x-4)/x(x+7)·-(x-7)(x+7)/-6(x-4)
3. Сократим общие множители x, (x-4) и (x+7). Заметим, что два минуса дают плюс:
1/1·x-7/6=x-7/6

б) y³-16y/2y+18:4-y/y²+9y

1. Разложим на множители:
   • y³-16y=y(y²-16)=y(y-4)(y+4)
   • 2y+18=2(y+9)
   • 4-y=-(y-4)
   • y²+9y=y(y+9)
2. Переходим к умножению на обратную дробь:
y(y-4)(y+4)/2(y+9)·y(y+9)/-(y-4)
3. Сокращаем y, (y-4) и (y+9). Остается минус перед знаменателем или числителем:
(y+4)·y/2·(-1)=-y(y+4)/2=-y²+4y/2 Примечание: В ключе ответа указано -(y³+4y²)/2, однако при строгом сокращении получается -(y²+4y)/2. Проверим исходные данные. Если бы в числителе было y⁴..., то степень была бы выше. При данных условиях ответ -y²+4y/2. Однако, если предположить опечатку в условии учебника (например, y⁴-16y²), то ответ мог бы отличаться. Но мы решаем строго по тексту. Пересчитаем внимательно. y(y-4)(y+4)/[2(y+9)]·[y(y+9)/-(y-4)]. Сокращаем y из первого числителя с y во втором? Нет, во втором числителе тоже есть y. Итого в числителе y·y=y². В знаменателе 2·(-1)=-2. Множители (y-4) и (y+9) сокращаются. Остаётся y²(y+4)/(-2). То есть -y³+4y²/2. Да, я пропустил один y при сокращении в уме. Числитель первого дроби содержит y, числитель второй (перевернутой) содержит y. Итого y². Умножаем на оставшийся (y+4). Получаем y²(y+4)=y³+4y². Знаменатель -2. Ответ совпадает с ключом.

в) (a+b)²-2ab/4a²:a²+b²/ab

1. Упростим числитель первой дроби: (a+b)²-2ab=a²+2ab+b²-2ab=a²+b².
2. Запишем произведение:
a²+b²/4a²·ab/a²+b²
3. Сокращаем (a²+b²) и одну букву a:
1/4a·b/1=b/4a

г) 5c³-5/c+2:(c+1)²-c/13c+26

1. Разложим на множители:
   • 5c³-5=5(c³-1)=5(c-1)(c²+c+1)
   • c+2 — не раскладывается.
   • (c+1)²-c=c²+2c+1-c=c²+c+1
   • 13c+26=13(c+2)
2. Запишем произведение на обратную дробь:
5(c-1)(c²+c+1)/c+2·13(c+2)/c²+c+1
3. Сокращаем (c+2) и (c²+c+1):
5(c-1)·13=65(c-1) Проверка по ключу: Ключ гласит 5(c-1). Где ошибка? Посмотрим на условие снова. Деление на дробь (c+1)²-c/13c+26. Обратная дробь 13c+26/(c+1)²-c. Числитель обратной дроби 13(c+2). Знаменатель прямой дроби c+2. Они сокращаются. Остается множитель 13. В числителе прямой дроби есть 5. Итого должно быть 65(c-1). Однако, возможно, в условии опечатка и там не 13c+26, а просто c+2? Или в числителе первой дроби нет 5? Если следовать строго тексту условия, ответ 65(c-1). Но ключ указывает на 5(c-1). Это означает, что множитель 13 должен был сократиться или отсутствовать. Например, если бы вторая дробь была (c+1)²-c/c+2, то обратная была бы c+2/c²+c+1, тогда 13 исчезает. Но в условии написано 13c+26. Вероятно, в задаче подразумевалось сокращение числа 13 с чем-то, чего нет, либо это опечатка в условии учебника (лишняя 13). Поскольку инструкция говорит "ключ — ориентир, а не приказ", но также "не выдумывай скрытые данные", я обязан дать математически верный ответ для написанного условия. Математически верно: 65(c-1). Однако, часто в таких задачах коэффициенты подбираются так, чтобы все сокращалось. Если предположить, что в условии опечатка и должно быть c+2 вместо 13c+26, то ответ будет 5(c-1). Но я не могу менять условие. Я напишу решение строго по условию, получив 65(c-1), и отмечу расхождение с ключом как возможную опечатку в источнике, но в финальном short_answer дам корректный вывод из условия или адаптирую под ключ, если допущена стандартная школьная ошибка? Инструкция: "если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Значит, пишу свой: 65(c-1). Повторная проверка пункта б): Числитель 1: y(y-4)(y+4). Знаменатель 1: 2(y+9). Числитель 2 (обратной): y(y+9). Знаменатель 2 (обратной): -(y-4). Произведение: y(y-4)(y+4)·y(y+9)/2(y+9)·-(y-4). Сокращаем (y-4), (y+9). Остается: y·y·(y+4)/-2=-y²(y+4)/2=-y³+4y²/2. Все верно. Повторная проверка пункта г): Дробь 1: 5(c-1)(c²+c+1)/c+2. Дробь 2: c²+c+1/13(c+2). Деление = Умножение на обратную: 5(c-1)(c²+c+1)/c+2·13(c+2)/c²+c+1. Сокращаем (c²+c+1) и (c+2). Остается: 5(c-1)·13=65(c-1). Ответ по условию: 65(c-1). Ключ: 5(c-1). Расхождение велико. Возможно, в условии должно быть c+2 в знаменателе второй дроби без 13? Или в числителе первой дроби c³-1 без 5? Напишу правильный ответ по условию.