ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 713: Упражнения для повторения курса 7–9 классов
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что
а) значение выражения a2+2a+2 ни при каком значении переменной a не может быть отрицательным
б) выражение 2x2-2xy+y2 при любых значениях x и y принимает неотрицательные значения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства неотрицательности алгебраических выражений часто используется метод выделения полного квадрата. Если мы сможем представить выражение в виде суммы квадратов действительных чисел и положительных констант, то его значение всегда будет больше или равно нулю.
а) Докажем, что a2+2a+2 не может быть отрицательным.
Рассмотрим данное выражение: a2+2a+2
Выделим полный квадрат из первых двух слагаемых. Для этого добавим и вычтем единицу (так как (a+1)2=a2+2a+1):
a2+2a+1+1=(a+1)2+1
Мы знаем, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (a+1)2≥0 при любом значении a. Следовательно:
(a+1)2+1≥0+1=1>0
Таким образом, значение выражения всегда строго положительно (минимум равен 1), а значит, оно никогда не может быть отрицательным.
б) Докажем, что 2x2-2xy+y2 принимает только неотрицательные значения.
Рассмотрим данное выражение: 2x2-2xy+y2
Попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что 2x2 можно разбить на x2+x2. Тогда перепишем выражение:
x2+x2-2xy+y2
Сгруппируем последние три слагаемых (x2-2xy+y2). Это формула квадрата разности:
x2+(x2-2xy+y2)=x2+(x-y)2
Теперь проанализируем полученную сумму:
- x2≥0 для любого действительного x;
- (x-y)2≥0 для любых действительных x и y, так как это квадрат числа.
Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом:
x2+(x-y)2≥0
Значит, исходное выражение 2x2-2xy+y2 при любых значениях переменных принимает только неотрицательные значения.
а) a2+2a+2=(a+1)2+1≥1>0, значит, не может быть отрицательным.
б) 2x2-2xy+y2=x2+(x-y)2≥0, значит, принимает только неотрицательные значения.
В пункте а) важно показать, что минимум выражения равен 1, а не просто 0, хотя для доказательства 'неотрицательности' достаточно было бы показать >=0. В пункте б) ключевой момент — разбиение коэффициента при x2 на два слагаемых для формирования двух независимых квадратов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 713 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 713?
Краткий ответ: а) a^2 + 2a + 2 = (a+1)^2 + 1 1 > 0, значит, не может быть отрицательным. б) 2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + (x-y)^2 0, значит, принимает только неотрицательные значения.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7–9 классов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.