ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 29.4: Закон сохранения импульса

План решения:

1. Определим высоту разрыва и время падения осколков до момента взрыва. 2. Используем закон сохранения импульса в момент разрыва снаряда в высшей точке (где скорость равна нулю), чтобы связать скорости осколков сразу после взрыва с их массами. 3. Учтём кинематику движения каждого осколка после взрыва: первый упал у точки выстрела со скоростью v₁=2v₀, второй падал в течение времени t₂=80 с. Найдём их скорости непосредственно перед падением или сразу после взрыва, чтобы применить ЗСИ.

Вычисление:

Начальная скорость снаряда v₀=400 м/с. В высшей точке скорость снаряда равна нулю, поэтому полный импульс системы перед разрывом равен нулю. По закону сохранения импульса сумма импульсов осколков сразу после разрыва также должна быть равна нулю: m₁u₁+m₂u₂=0 где u₁ и u₂ — векторы скоростей осколков сразу после взрыва. Поскольку векторная сумма равна нулю, модули скоростей связаны соотношением: m₁|u₁|=m₂|u₂| ⇒ m₁/m₂=|u₂|/|u₁| Нам нужно найти отношение модулей скоростей осколков сразу после взрыва.

Рассмотрим движение первого осколка. Он упал у точки выстрела со скоростью v_fall1=2v₀=800 м/с. Движение вниз от точки разрыва до земли равноускоренное с ускорением g. Пусть высота разрыва равна H. Тогда для первого осколка справедливо соотношение между скоростью сразу после взрыва u₁ (направленной вниз, так как он упал быстрее, чем просто свободно падающее тело с высоты H? Нет, давайте проверим направление).

Сначала найдём высоту H. Если бы снаряд не разорвался, он бы упал обратно за то же время, что и поднимался. Время подъёма t_up=v₀/g. Но нам дано время падения второго осколка t₂=80 с. Это время после разрыва. Второй осколок упал через 80 секунд. Значит, время его падения t_fall2=80 с. Для второго осколка, если предположить, что он получил импульс вверх или вниз, его перемещение за время t₂ равно -H (если ось Y вверх). Уравнение движения: -H=u₂t₂-gt22/2 Здесь u₂ — проекция скорости на вертикальную ось сразу после взрыва.

Теперь про первый осколок. Он упал у точки выстрела. Его конечная скорость при ударе о землю v_end1=800 м/с. Направление скорости вниз. Для равноускоренного движения вниз с начальной скоростью u₁ (проекция на ось вниз) и пройденным путём H: v2end1=u21+2gH Отсюда u21=v2end1-2gH=800²-2gH.

Нам нужно найти H. Воспользуемся тем, что второй осколок падал 80 секунд. Но мы не знаем, куда он полетел сразу после взрыва. Однако, обычно в таких задачах подразумевается, что один осколок летит вверх, другой вниз, или оба имеют определённые направления. Давайте посмотрим на условия внимательнее. «Первый упал... со скоростью вдвое большей начальной». Начальная скорость снаряда 400. Скорость падения 800. Если бы осколок просто падал с высоты H без начальной скорости, его скорость была бы ν= extsqrt(2gH). Если бы он был брошен вниз со скоростью u, то v²=u²+2gH.

Давайте определим H из данных по второму осколку? Нет, там неизвестно u₂. Есть ли связь между временами? Нет. Однако, есть важный момент: в высшей точке скорость снаряда 0. Импульс 0. Значит, осколки разлетаются в противоположные стороны. Один вверх, другой вниз. Кто летит вверх, а кто вниз? Если первый осколок упал со скоростью 800 м/с, это очень большая скорость. Свободное падение с высоты подъёма снаряда (H=v20/2g=400²/20=8000 м) дало бы скорость sqrt(2 extcdot10 extcdot8000)=sqrt(160000)=400 м/с. То есть, если бы осколок просто упал с этой высоты без начальной скорости, он имел бы скорость 400 м/с. А он имеет 800 м/с. Значит, он был направлен вниз сразу после взрыва с некоторой начальной скоростью u₁. Уравнение для первого осколка (ось вниз): v2end1=u21+2gH 800²=u21+2 extcdot10 extcdot8000 640000=u21+160000 u21=480000 ⇒ u₁=sqrt(480000)=400sqrt(3) м/с

Так как первый осколок летел вниз, то по закону сохранения импульса второй осколок должен был лететь вверх со скоростью u₂. Их импульсы равны по модулю: m₁u₁=m₂u₂. Теперь найдём u₂ из условий движения второго осколка. Он был брошен вверх со скоростью u₂ с высоты H. Через время t₂=80 с он упал на землю. Запишем уравнение движения для координаты y (ось вверх, начало на земле): y(t)=H+u₂t-gt²/2 В момент падения y(80)=0: 0=8000+u₂ extcdot80-10 extcdot80²/2 0=8000+80u₂-5 extcdot6400 0=8000+80u₂-32000 80u₂=24000 u₂=24000/80=300 м/с

Итак, мы нашли скорости осколков сразу после разрыва: u₁=400sqrt(3) м/с (вниз) u₂=300 м/с (вверх) Отношение масс: m₁/m₂=u₂/u₁=300/400sqrt(3)=3/4sqrt(3)=sqrt(3)/4

Проверка:

Подставим числа. u₁ extapprox400 extcdot1.732=692.8 м/с. u₂=300 м/с. m₁/m₂=300/692.8 extapprox0.433. sqrt(3)/4 extapprox1.732/4=0.433. Совпадает. Логика верна: первый осколок летел вниз, получив дополнительный импульс, поэтому приземлился быстро и с большой скоростью. Второй летел вверх, потратил время на подъём и спуск, поэтому время падения составило 80 с. Расчёт высоты H=8000 м корректен для v₀=400 м/с и g=10 м/с².