ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 112: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным свойством параллелограмма: сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх его сторон. В параллелепипеде каждая грань является параллелограммом, а также можно рассмотреть сечения, проходящие через диагонали граней (диагональные сечения), которые тоже являются параллелограммами. Нам нужно выразить сумму квадратов четырёх пространственных диагоналей параллелепипеда через рёбра и граничные диагонали, а затем связать их с рёбрами.

Вычисление.

Обозначим длины трёх различных рёбер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, как a, b и c. Всего в параллелепипеде 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. Сумма квадратов всех двенадцати рёбер равна:

S_рёбер =4a²+4b²+4c²

Рассмотрим одну из четырёх пространственных диагоналей параллелепипеда. Пусть она соединяет противоположные вершины. Квадрат этой диагонали d₁ можно найти, применив теорему Пифагора дважды или используя формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда (которая справедлива и для наклонного, если рассматривать проекции, но проще использовать векторный метод или разложение на грани). Однако более универсальный геометрический подход опирается на указание учебника.

Вспомним свойство параллелограмма: d21+d22=2(a²+b²), где d_1,d₂ — диагонали, а a,b — стороны. Применим это к граням и сечениям.

Пусть основания параллелепипеда — параллелограммы со сторонами a и b. Диагонали основания обозначим d_осн1 и d_осн2. Тогда для каждого основания верно:

d2осн1 +d2осн2 =2(a²+b²)

Теперь рассмотрим боковые грани. Они являются параллелограммами со сторонами a,c и b,c. Но нам нужны пространственные диагонали. Пространственная диагональ параллелепипеда является диагональю диагонального сечения. Диагональное сечение — это параллелограмм, сторонами которого являются диагональ основания и боковое ребро c.

Более простой путь — использование координатного метода или векторов, который строго доказывает равенство для любого параллелепипеда. Пусть векторы рёбер a,b,c. Четыре пространственные диагонали имеют векторы:

d₁=a+b+c d₂=a-b+c d₃=a+b-c d₄=-a+b+c

Найдём сумму квадратов длин этих диагоналей (|x|²=x•x):

|d₁|²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac) |d₂|²=a²+b²+c²-2(ab-bc-ac) |d₃|²=a²+b²+c²+2(ab-bc-ac) |d₄|²=a²+b²+c²-2(-ab+bc-ac)

Сложим эти четыре выражения. Все смешанные произведения скалярных векторов сокращаются:

Сумма d2i=$4a²+4b²+4c²$ +2(a$b+b\bar{c} + \bar{a}c-a\bar{b} + \bar{b}c+a\bar{c} + \bar{a}b-b\bar{c} - \bar{a}c+a\bar{b} - \bar{b}$c+a\bar{c}) \times (\text{коэффициенты при группировке дают 0}) \ ext{Проверка знаков:}\ \bar{a}\bar{b}: & 2 - 2 + 2 + 2 = 4? \text{ Нет, давайте аккуратно.} \ ext{Векторный вывод надежнее через тождество Эйлера для параллелепипеда.} \text{Вернемся к геометрическому смыслу указания.} \text{Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.} \text{Рассмотрим все 6 граней. Сумма квадратов диагоналей всех граней равна удвоенной сумме квадратов всех рёбер (так как каждое ребро входит в две грани).} \text{Но нам нужны пространственные диагонали.} \text{Используем формулу: } d21+d22+d23+d24=4(a²+b²+c²). \text{Это стандартное тождество. Докажем его через проекции или векторы корректно.} \text{Квадрат диагонали } d^2 = |\bar{u}+\bar{v}+\bar{w}|^2 = u^2+v^2+w^2 + 2(\bar{u}\bar{v}+\bar{v}\bar{w}+\bar{u}\bar{w}). \text{Для четырех комбинаций знаков (+,+,+), (+,-,+), (+,+,-), (-,+,+):} \text{Слагаемые } a², b², c² \text{ входят во все 4 суммы. Итого } 4a²+4b²+4c². \text{Слагаемые вида } 2\bar{a}\bar{b}: \text{В } d_1: +2\bar{a}\bar{b} \text{В } d₂:-2\bar{a}\bar{b} \text{В } d_3: +2\bar{a}\bar{b} \text{В } d₄:-2\bar{a}\bar{b} \text{Сумма: } 2-2+2-2=0. \text{Аналогично для других пар.} \text{Таким образом, сумма квадратов 4 пространственных диагоналей равна } 4a²+4b²+4c². \text{Сумма квадратов 12 рёбер также равна } 4a²+4b²+4c². \text{Доказательство завершено.}

Проверка.

Мы получили, что сумма квадратов четырёх пространственных диагоналей равна 4a²+4b²+4c². Сумма квадратов двенадцати рёбер параллелепипеда также равна 4a²+4b²+4c², так как есть по 4 ребра каждой длины. Равенство выполняется тождественно для любого параллелепипеда, что и требовалось доказать.