ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 116: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дан параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Докажите
а) DC ⊥ B_1C_1 и AB ⊥ A_1D_1, если ∠BAD=90°
б) AB ⊥ CC_1 и DD_1 ⊥ A_1B_1, если AB ⊥ DD_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства перпендикулярности скрещивающихся прямых в пространстве используется определение угла между ними. Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны (AB∥DC, AD∥BC, AA1∥BB1 и т.д.). Мы будем переносить одну из прямых на другую с помощью параллельного перемещения вдоль ребер, чтобы свести задачу к доказательству перпендикулярности смежных сторон или диагоналей граней.
Решение пункта а).
Дано: ∠BAD=90°. Нужно доказать: DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1.
- Докажем DC⊥B1C1.
- В параллелепипеде ребро B1C1 параллельно ребру BC (так как грани BCC1B1 — параллелограммы, точнее прямоугольники при условии, но нам важна только параллельность направлений). Также ребро DC параллельно ребру AB.
- Угол между скрещивающимися прямыми DC и B1C1 равен углу между пересекающимися прямыми AB и BC (или DC и BC).
- Так как основание ABCD является параллелограммом и по условию ∠BAD=90°, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.
- Следовательно, соседние стороны прямоугольника перпендикулярны: AB⊥BC.
- Значит, угол между AB и BC равен 90°. Поскольку DC∥AB и B1C1∥BC, то угол между DC и B1C1 также равен 90°.
- Итак, DC⊥B1C1.
- Докажем AB⊥A1D1.
- Ребро A1D1 параллельно ребру AD.
- Угол между скрещивающимися прямыми AB и A1D1 равен углу между пересекающимися прямыми AB и AD.
- По условию задачи ∠BAD=90°, то есть AB⊥AD.
- Следовательно, угол между AB и A1D1 равен 90°.
- Итак, AB⊥A1D1.
Решение пункта б).
Дано: AB⊥DD1. Нужно доказать: AB⊥CC1 и DD1⊥A1B1.
- Докажем AB⊥CC1.
- В параллелепипеде боковые ребра параллельны друг другу: DD1∥CC1.
- Если прямая AB перпендикулярна прямой DD1, то она перпендикулярна любой прямой, параллельной DD1.
- Следовательно, AB⊥CC1.
- Докажем DD1⊥A1B1.
- Ребро A1B1 параллельно ребру AB (противоположные ребра верхнего и нижнего оснований).
- По условию дано, что AB⊥DD1.
- Угол между скрещивающимися прямыми DD1 и A1B1 равен углу между пересекающимися прямыми DD1 и AB (если мы перенесем A1B1 на AB).
- Так как угол между DD1 и AB равен 90°, то и угол между DD1 и A1B1 равен 90°.
- Итак, DD1⊥A1B1.
Проверка.
Логика опирается на свойства параллельных прямых в пространстве: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и вторая перпендикулярна третьей. Также использовано свойство прямоугольного основания (в п. а) и параллельность боковых ребер/сторон основания (в п. б). Доказательства корректны для произвольного параллелепипеда с указанными условиями.
а) Так как ABCD - прямоугольник, то AB⊥AD и AB⊥BC. Из параллельности ребер следует DC⊥B_1C_1 и AB⊥A_1D_1.
б) Так как DD_1∥CC_1, то из AB⊥DD_1 следует AB⊥CC_1. Так как A_1B_1∥AB, то из AB⊥DD_1 следует DD_1⊥A_1B_1.
Задача решается через определение угла между скрещивающимися прямыми и использование свойств параллельности ребер параллелепипеда. В пункте а) ключевым является тот факт, что угол BAD=90 градусов делает основание прямоугольником. В пункте б) используется транзитивность перпендикулярности относительно параллельных прямых.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 116 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 116?
Краткий ответ: а) Так как ABCD - прямоугольник, то AB⊥AD и AB⊥BC. Из параллельности ребер следует DC⊥B_1C_1 и AB⊥A_1D_1. б) Так как DD_1∥CC_1, то из AB⊥DD_1 следует AB⊥CC_1. Так как A_1B_1∥AB, то из AB⊥DD_1 следует DD_1⊥A_1B_1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.