ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 110: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Чтобы доказать параллельность двух плоскостей, необходимо воспользоваться признаком параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Нам нужно найти такие пары параллельных прямых в плоскостях A₁DB и D₁CB₁.

Ход доказательства.

Рассмотрим грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Так как это параллелепипед, его противоположные грани являются параллелограммами.

1. Рассмотрим грань ABB₁A₁. Это параллелограмм, следовательно, диагональ A₁B не лежит в этой грани целиком как сторона, но мы можем рассмотреть связь с другими элементами. Давайте посмотрим на отрезки A₁B и D₁C. В параллелепипеде ребра A₁D₁ и BC равны и параллельны (так как они лежат в параллельных основаниях или являются соответствующими сторонами боковых граней). Более простой путь: рассмотрим четырехугольник A₁BCD₁. Ребро A₁D₁ параллельно и равно ребру BC (свойства параллелепипеда). Значит, четырехугольник A₁BCD₁ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны A₁B и D₁C параллельны: A₁B∥D₁C
2. Теперь рассмотрим отрезки A₁D и B₁C. Аналогично, ребро A₁B₁ параллельно и равно ребру DC. Четырехугольник A₁B₁CD является параллелограммом. Следовательно, его противоположные стороны A₁D и B₁C параллельны: A₁D∥B₁C

Итак, мы получили:

• Прямая A₁B плоскости A₁DB параллельна прямой D₁C, лежащей в плоскости D₁CB₁.
• Прямая A₁D плоскости A₁DB параллельна прямой B₁C, лежащей в плоскости D₁CB₁.

Прямые A₁B и A₁D пересекаются в точке A₁ и лежат в плоскости A₁DB. Прямые D₁C и B₁C лежат в плоскости D₁CB₁. По признаку параллельности плоскостей, плоскость A₁DB параллельна плоскости D₁CB₁.

Проверка.

Логика опирается на фундаментальное свойство параллелепипеда: противоположные грани параллельны и равны, а также на свойства параллелограмма (противоположные стороны параллельны). Мы нашли две пересекающиеся прямые в первой плоскости, которые параллельны двум прямым во второй плоскости. Условие признака выполнено полностью. Доказательство корректно.